G159 – Les deux pièces de monnaie
J’ai deux vieilles pièces de monnaie l’une, la plus petite, en or et l’autre en argent, que l’on peut assimiler à deux cylindres droits parfaits. Leurs tranches ont même dimension arrondie au centième de millimètre le plus proche et sont assez épaisses pour que les pièces lancées*
en l’air retombent sur la tranche avec les probabilités p1> 0 pour la pièce en or et p2 > 0 pour la pièce en argent. Quand je lance chacune des deux pièces, les probabilités d’obtenir pile et face sont identiques.
Je lance la pièce en or plusieurs fois de suite jusqu’à obtenir au moins une fois les trois configurations pile, face et tranche. J’observe qu’après de très nombreuses expériences, j’y parviens en moyenne à l’issue de huit lancers. J’opère de la même manière avec la pièce en argent et je constate qu’il faut aussi huit lancers en moyenne pour obtenir les trois
configurations. La pièce en argent a un diamètre de 49 mm. Quel sont, arrondis au mm le plus proche, le diamètre et l’épaisseur de la tranche de la pièce en or ?
*Nota : les lancers peuvent être réalisés avec un tapis de sol recouvert d’un adhésif. Si la pièce tombe sur la tranche comme le montre le premier schéma ci-dessus, le tapis maintient la pièce sur sa tranche. À l’inverse, si elle tombe côté pile (ou face), ce sera le côté face (ou pile) qui apparaîtra.
Solution proposée par Patrick Gordon
On assimilera la pièce à une "sphère-fantôme" de diamètre d dont ne subsiste qu'une bande équatoriale de hauteur h. Ainsi, puisque chacun sait que la surface d'une bande circulaire sur une sphère est proportionnelle à la distance des deux plans parallèles qui la délimitent :
t = Probabilité [la pièce tombe sur la tranche] = h / d.
Mais attention : d n'est pas le diamètre de la pièce mais celui de la sphère. Si l'on note d' le diamètre de la pièce, on a :
d'² = d² – h².
Donc :
t² = h² / (d'² + h²).
Quoi qu'il en soit, les probabilités p et f que la pièce tombe sur Pile ou Face résultent de t par :
p = f = (1 – t) /2
Soit X la variable aléatoire "rang auquel on obtient pour la première fois les trois configurations pile, face et tranche".
On a, par définition :
Pr [X > n] = Pr [au nème tirage, il n'y a pas de P ou pas de F ou pas de T]
= Pr [au nème tirage, il n'y a pas de P] + Pr [au nème tirage, il n'y a pas de F] + Pr [au nème tirage, il n'y a pas de T] – Pr [au nème tirage, il n'y a que des P] – Pr [au nème tirage, il n'y a que des F] – Pr [au nème tirage, il n'y a que des T].
En principe il faudrait ajouter Pr [au nème tirage, il n'y a ni P ni F ni T], mais ce terme est nul.
Muni des expressions de p et f ci-dessus, on peut calculer chacune de ces probabilités. Ainsi, par exemple :
Pr [au nème tirage, il n'y a pas de P] = [(1 + t) / 2]n. On arrive ainsi à l'expression :
Pr [X > n] = 2 [(1 + t) / 2]n + (1 – t)n – 2 [(1 – t) / 2]n – tn Mais Pr [X = n] = Pr [X > n – 1] – Pr [X > n]
Et comme E(X) = ∑ n Pr [X = n], on a : E(X) = ∑0 Pr [X > n]
Il reste à sommer de 0 à l'infini les 4 termes ci-dessus de Pr [X > n], en prenant bien garde au fait que Pr [X = n] = 0 pour n = 0, 1 et 2. On obtient une expression en t :
E [X] = (6 t² – t3 + 1) / t (1 – t²) L'équation E(X) = 8 s'écrit :
7 t3 + 6 t² – 8 t + 1 = 0.
Elle s'écrit aussi :
(7 t – 1) (t² + t – 1) = 0.
Et elle a donc deux racines comprises entre 0 et 1 :
1/7 = 0,142857
(√5 – 1) / 2 = 0,618034
La plus petite de ces probabilités correspond à la plus grande des deux pièces, puisque les tranches sont égales, c’est-à-dire à la pièce d'argent.
Donc :
p2 = 0,142857 (pièce d'argent)
Pour la pièce d'argent, on connaît le diamètre (d' = 49) et on peut donc en déduire la tranche h par la relation indiquée en tête, soit :
t² = h² / (d'² + h²).
C’est-à-dire encore : h² = t² d'² / (1 – t²) D'où, avec t = 1/7 et d' = 49 :
h ≈ 7,07
soit, en arrondissant au mm le plus proche : h = 7 mm.
Quant à la pièce d'or (qui a la même tranche h), de t = p1 = 0,618034 (on notera que c'est l'inverse du nombre… d'or, justement), on déduit, par :
d'² = h² (1 – t²) / t² : d' ≈ 8,99
soit, en arrondissant au mm le plus proche : d' = 9 mm.
Naturellement, ces deux pièces ont des proportions inhabituellesmais il faut rappeler qu'elles ont été fabriquées il y a fort longtemps sur mesure à la demande d'un certain Diophante …
