Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Polynésie juin 2007 \ Génie mécanique, énergétique, civil
EXERCICE1 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→
u,→− v´
. L’unité graphique est 2 cm.
On note i nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. Pour tout nombre complexez, on pose :
P(z)=z3+
³2p 2−4´
z2+
³8−8p 2´
z+16p 2.
a. CalculerP(−2p 2).
b. Déterminer une factorisation deP(z) sous la forme : P(z)=¡
z+2p 2¢ ¡
z2+αz+β¢
oùαetβsont deux nombres réels que l’on déterminera.
c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :P(z)=0.
2. On note A, B et C les points d’affixes respectives :a=2+2i,b=2−2i et c= −2p
2.
a. Placer les points A, B et C dans le repère³ O,→−
u,−→ v ´
.
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercleΓde centre O, dont on donnera le rayon.
b. Déterminer un argument du nombre complexeapuis un argument du nombre complexeb.
En déduire une mesure en radian de l’angle³−−→OB ,−−→OA´ . c. Déterminer alors une mesure en radian de l’angle³−−→CB ,−−→CA´
..
d. Démontrer qu’une mesure de l’angle³−−→AC ,−AB−→´ est3π
8 . e. En déduire l’égalité : tan
µ3π 8
¶
=1+p 2.
EXERCICE2 4 points
Pour former une pièce métallique à partir d’un profilé de 2 centimètres d’épais- seur, on utilise un marteau pilon.
Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l’épaisseur de métal diminue de 2 %.
On noteun(nentier naturel) l’épaisseur en millimètres de la pièce aprèsnfrappes de marteau pilon.
On a doncu0=20.
1. Calculeru1,u2etu3. On donnera les résultats arrondis au centième de mil- limètre.
2. Démontrer que la suite (un) est géométrique, et préciser sa raison.
3. Déterminerunen fonction de l’entiern.
4. Quelle est l’épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après 10 frappes ?
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5. On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à 14 millimètres.
Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?
PROBLÈME 11 points
Le plan est rapporté au repère orthonormal³ O,−→
ı ,−→
´
. (L’unité graphique est 2 cm).
Le but du problème est l’étude de la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=x−1+2
x−2ln(x) x puis de calculer une aire.
I. Étude d’une fonction auxiliaireg
On notegla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
g(x)=x2−4+2ln(x).
1. Calculer la fonction dérivéeg′de la fonctiong.
2. Déterminer le sens de variation de la fonction g. (On ne demande pas les limites en 0 et en+∞).
3. Résolution de l’équationg(x)=0.
a. Démontrer que sur l’intervalle [1 ; 2] l’équationg(x)=0 possède une so- lution uniqueα.
b. Donner un encadrement d’amplitude 10−2de ce nombreα.
4. Déduire de ce qui précède le signe deg(x) suivant les valeurs dex, dans l’in- tervalle ]0 ;+∞[.
II. Étude de la fonctionf
SoitC la courbe représentative def dans le repère³ O,−→
ı ,→−
´.
1. Déterminer la limite def en 0. Qu’en déduit-on pour la courbeC? 2. Etude en+∞.
a. Déterminer la limite def en+∞.
b. Démontrer que la droiteDd’équationy=x−1 est asymptote à la courbe C.
c. Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbeC et à la droiteD.
d. Étudier la position de la courbeC par rapport à la droiteD. 3. Étude des variations def.
a. Déterminer la fonction dérivéef′de la fonctionf. Vérifier que pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ : f′(x)=g(x)
x2 , oùgest la fonc- tion étudiée dans la partie I.
b. En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonctionf
4. On noteT la tangente à la courbeC au point d’abscisse e2. Montrer queT est parallèle à l’asymptoteD.
5. Dans le repère³ O,−→
ı ,→−
´
. tracer la droiteD, la tangenteT et la courbeC à l’aide de l’étude précédente. (On prendraf(α)≈1,25.)
Polynésie 2 juin 2007
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III. Calcul d’une aire
On définit sur l’intervalle ]0 ;+∞[ la fonctionHpar : H(x)=x2
2 −x+2lnx−(lnx)2 .
1. Démontrer queHest une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. Soit la région du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=e.
a. Hachurer la région sur votre figure.
b. On noteSl’aire, exprimée en unité d’aire, de la régionS. Déterminer la valeur exacte deS.
c. Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm2.
Polynésie 3 juin 2007
