Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Polynésie septembre 2009 \ Génie mécanique, énergétique, civil
EXERCICE1 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O ;−→
u,−→ v´
. L’unité graphique est 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. Soit (E) l’équation d’inconnue complexez : z2−8z+41=0.
a. Résoudre l’équation (E) dans l’ensembleCdes nombres complexes.
b. On notez1la solution de l’équation (E) dont la partie imaginaire est positive et on notez3
le nombre complexe défini parz3=1 8
¡−z12−25+16i¢
. Démontrer quez3= −2−3i·
2. On note A, B, C et K les points du plan d’affixes respectives :a=4+5i, b= −3+4i,c= −2−3i etk=1+i.
a. Placer les points A, B, C et K dans le repère³ O ;−→
u,−→ v´
. b. Démontrer que K est le milieu du segment [AC].
c. Calculer|a−k|et|b−k|puis en déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Soit D le symétrique de B par rapport à K ; on notedl’affixe du point D.
a. Déterminerdet placer le point D dans le repère³ O ;−→
u,→− v´
. b. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
EXERCICE2 4 points
On note (E) l’équation différentielle
y′′+4y=0,
oùyest une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.
1. Résoudre l’équation différentielle (E).
2. On notef la solution particulière de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions : f(0)=1 et f ³π
3
´
= −2.
Déterminer l’expression de la fonctionf.
3. Démontrer que pour tout nombre réelx : f(x)=2cos³ 2x+π
3
´ . 4. Déterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalleh
0 ; π 3 i
.
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
PROBLÈME 11 points
On considère la fonction définie sur l’ensembleRdes nombres réels par
f(x)=e−2x+4e−x+6x+1.
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal³ O ;−→
ı,−→
´
d’unités graphiques 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A : Étude des limites et recherche d’une asymptote 1. Déterminer la limite def en+∞.
2. Démontrer quef(x)=e−x(e−x+4+6xex+ex). En déduire la limite def en−∞.
3. On notehla fonction définie sur l’ensembleRdes nombres réels par h(x)=f(x)−(6x+1).
Déterminer la limite dehen+∞. Que peut-on en déduire ?
4. Déterminer le signe deh(x) pour tout nombre réelxet en déduire les positions relatives de la courbeC et de la droiteDd’équationy=6x+1.
Partie B : Étude des variations de la fonctionf
1. Démontrer que la fonction dérivéef′def est définie pour tout nombre réelxpar : f′(x)= −2¡
e−x+3¢ ¡ e−x−1¢
.
2. Résoudre dans l’ensembleRdes nombres réels, l’inéquation e−x−1>0 ; en déduire le signe def′(x) surR.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. Construire la droiteDpuis la courbeC dans le repère³
O ;−→ ı,→−
´ . Partie C : Calcul d’aire
métant un nombre réel strictement positif, on noteA(m) l’aire, en unités d’aire, comprise entre la droiteD, la courbeC, les droites d’équationsx=0 etx=m.
1. ExprimerA(m) en fonction dem.
2. CalculerA(1). On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au centième.
3. Résoudre dans l’ensembleRdes nombres réels, l’équation
−4e−2x−32e−x+17=0¡
on pourra poserX=e−x¢ . 4. Déterminer le réelm>0, tel queA(m)=19
8 .
Polynésie 2 septembre 2009
