Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie septembre 2009 \ Génie mécanique, énergétique, civil
EXERCICE1 5 points
1. a. z2−8z+41=0 ;∆=64−164= −100=(10i)2. Il y a donc deux racines complexes :z1=8+10i
2 =4+5i etz2=4−5i.
b. z3=1 8
£−(4+5i)2−25+16i¤
=1
8(−16+25−40i−25+16i)=1
8(−16−24i)= −2−3i.
2. a. Cf. figure à la fin de l’exercice.
b. On aa+c
2 =4+5i−2−3i
2 =2+2i
2 =1+i=k. Donc K est le milieu de [AC].
c. |a−k| = |4+5i−(1+i)| = |3+4i| =p
32+42=5.
|b−k| = | −3+4i−(1+i)| = | −4+3i| =p
−4)2+32=5.
Donc|a−k| = |b−k| ⇐⇒KA=KB. Or d’après la question précédente KA = KC et finalement KA = KB = KC ce qui signifie que A, B et C appartiennent au cercle de centre K et de rayon 5, [AC] étant un diamètre.
5 5
−
→u
−
→v
b
b b b b
A B
C
K O
D
3. a. On ak=b+d
2 ⇐⇒2k=b+d ⇐⇒ d=2k−b=2+2i−(−3+4i)=5−2i.
b. - K est le milieu des diagonales [AC] et [BD[, donc ABCD est un parallélogramme ;
- BD = 2 KB=2×5=10 et AC = 10 ; les diagonales ont la même longueur, donc ABCD est un rectangle.
-|b−a| = |−3+4i−(4+5i)| = |−7−i| =p 50=5p
2=AB ; de même|c−b| = |−2−3i−(−3+4i)| =
|1−7i| =p 50=5p
2=BC.
Conclusion : le rectangle ABCD ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.
EXERCICE2 4 points
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
1. On sait que la solution générale est de la forme :
y=Acos 2x+Bsin 2x,A∈R,B∈R.
2.
( f(0) = 1 f³π
3
´
= −2 ⇐⇒
A = 1
A× µ
−1 2
¶ +B
p3
2 = −2 ⇐⇒
A = 1
B p3
2 = −3
2
⇐⇒
½ A = 1 B = −p
3 Doncf(x)=cos 2x−p
3 sin 2x.
3. Quel que soitx∈R, f(x)=2 Ã1
2cos 2x− p3
2 sin 2x
!
=2³
cos 2xcosπ
3−sin 2xsinπ 3
´
= 2cos³
2x+π 3
´
(formule d’addition).
4. La valeur moyenne def surh 0 ; π
3 i
est :
m= 1 π 3−0
Z π 3
0, 2cos
³ 2x+π
3
´ dx=
·3 π×sin
³ 2x+π
3
´¸π
3 0 =3
π Ã
0− p3
2
!
= −3p 3 2π
PROBLÈME 11 points
Partie A : Étude des limites et recherche d’une asymptote 1. On sait que lim
x→+∞e−x=0, donc comme e−2x=(e−x)2, lim
x→+∞e−2x=0.
Comme lim
x→+∞(6x+1)= +∞, lim
x→+∞f(x)= +∞
2. En factorisant e−xdans l’écriture def(x), on a f(x)=e−x(e−x+4+6xex+ex).
Or lim
x→−∞xe−x=0, lim
x→−∞e−x=0, lim
x→−∞e−x= +∞, on conclut que
x→−∞lim f(x)= +∞.
3. h(x)=e−2x+4e−x+6x+1−(6x+1)=e−2x+4e−x, donc comme on l’a vu au-dessus, lim
x→+∞h(x)= 0.
Géométriquement cela signifie que la droite d’équationy=6x+1 est asymptote àCau voisi- nage de plus l’infini.
4. On sait que quel que soitu∈R, eu>0, donch(x)>0.
Cela signifie que la courbeC est au dessus deDquel que soit le réelx Partie B : Étude des variations de la fonctionf
1. f est dérivable surRet quel que soitx∈R, f′(x)= −2e−2x−4e−x+6= −2¡
e−2x+2e−x−3¢ .
PosonsX=e−x, donc e−2x+2e−x−3=X2+2X−3=(X+1)2−1−3= (X+1)2−4=(X+1+2)(X+1−2)=(X+3)((X−1).
Doncf′(x)= −2(e−x+3) (e−x−1).
Polynésie 2 septembre 2009
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
2. e−x−1>0 ⇐⇒ e−x>1 ⇐⇒ e−x>e0 ⇐⇒ −x>0 (par croissance de la fonction exponen- tielle) ⇐⇒ x60.
Comme e−x>0 quel que soit le réelx, e−x+3>3>0. Le signe de f′(x) est donc l’opposé de celui de e−x−1 soit :
- six60, f′(x)60 ; - six>0, f′(x)>0.
3. On en déduit le tableau de variations def, la positivité def′(x) entraînant la croissance def :
x −∞ 0 +∞
− +
f′(x)
f
+∞ +∞
6 0
4. Voir la figure plus bas Partie C : Calcul d’aire
1. On a vu à la question 4. de la partie A que la fonctionhest positive donc sur [0 ;m] avecm>0 ; l’aireA(m) est égale à l’intégrale sur [0 ;m] de la fonctionh. D’où :
A(m)= Zm
0
¡e−2x+4e−x¢ dx=
·
−1
2e−2x−4e−x
¸m 0 = −1
2e−2m−4e−m+1 2+4=9
2−1 2e−2m− 4e−m.
2. En particulierA(1)=9 2−1
2e−2−4e−1≈2, 960≈2, 96 au centième près 3. En posantX=e−x, l’équation s’écrit−4X2−32X+17=0.
∆=322+4×4×17=1296=362. L’équation a donc deux solutions réelles : X1= 32+36
2×(−4)= −17
2 etX2= 32−36 2×(−4)=1
2. Il reste donc à résoudre :
e−x = −17 ou 2 e−x = 1
2
⇐⇒
pas de solution ou
−x = ln µ1
2
¶ ⇐⇒
pas de solution ou
x = −ln µ1
2
¶
=ln 2
4. A(m)=19 8 ⇐⇒ 9
2−1
2e−2m−4e−m=19
8 ⇐⇒ 17 8 −1
2e−2m−4e−m=0⇐⇒ 17−4e−2m−32e−m= 0.
On vient de voir que cette équation a une solution : m=ln 2>0. On aA(ln 2)=19
8.
Polynésie 3 septembre 2009
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
5 10
x y
−
→ı
−
→
C D
Polynésie 4 septembre 2009
