A638. Une collection de poids en laiton ***
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection. Justifiez votre réponse.
Solution de Claude Felloneau Il faut au minimum 11 poids.
La somme totale des massesm doit être un multiplie de 4, 5 et 6 donc un multiple de 60. On a donc m=60koùk∈N∗. Pour que la répartition en 6 lots de masses 10ksoit possible, il faut que chaque poids ait une masse inférieure ou égale à 10k. Pour que la répartition en 5 lots de masses 12k soit possible, chaque lot doit contenir au moins deux poids. Il faut donc au moins 10 poids.
• Si la collection est composée de 10 poids, chaque lot de masse 12kest composé de deux poids de masses aietbi=(12k−ai)koùai>6kpour 16i65.
Les poids de massesa1,a2,a3,a4eta5sont nécessairement dans 5 lots différents de masse 10k. De plus, en répartissant 10 poids en 6 lots de masse 10k, il y a au moins deux lots qui ne contiennent qu’un poids donc au moins 2 poids de masse 10k. La répartition en 4 lots de masse 15k implique qu’il y a au plus 4 poids de masse 10k. ]
— S’il y a 3 poids de masse 10k.
Les 3 autres lots de masse 10ksont {a1,c1}, {a2,c2} et {d1,d2,d3} aveca1>6keta2>6k.
Il y a donc 3 poids de masse 2k. Comme 2k+2k+2k<10k, l’un au moins desdiest différent de 2k. On peut donc supposer quec1=2k. Donca1=8ketb1=4k
- Sic2=2kon aa2=8kdoncb1=b2=4k. Tous les poids ont des masses multiples de 2k. - Sic26=2k, on peut supposer qued1=d2=2kdoncd3=6k. Ainsi le dernier poids a donc pour masse 6k. Tous les poids ont des masses multiples de 2k.
— S’il y a exactement 2 poids de masse 10k.
Les autres lots de masse 10ksont {a1,c1}, {a2,c2}, {a3,c3} et {d1,d2} avecai>6kpour 16i64, d166ketd266k.
Il y a 2 poids de masse 2k. Comme 2k+2k<10k, l’un desciest égal à 2kpar exemplec1=2k donca1=8ketb1=4k.
- Sic2=2kon aa2=8kdoncb2=4k. Comme 4k+4k<10k,d1oud2est différent de 4kdonc c3=4keta3=6kd’oùb3=6k. Tous les poids ont une masse multiple de 2k.
- Sic26=2k, on peut supposer qued1=2kdoncd2=8k. Ce qui est impossible card266k.
Tous les cas mènent donc à une impossibilité car il n’est pas possible réaliser un lot de masse 15k avec des poids de masses multiples de 2k.
• La collection des 11 poidsp1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11de masses respectivesk,k, 2k, 3k, 4k, 6k, 6k, 8k, 9k, 10k, 10kconvient. On peut la répartir en :
- 6 lots de masse 10k: {p1,p9} ; {p2,p4,p6} ; {p3,p8} ; {p5,p7} ; {p10} ; {p11}.
- 5 lots de masse 12k: {p1,p2,p10} ; {p3,p11} ; {p4,p9} ; {p5,p8} ; {p6,p7}.
- 4 lots de masse 15k:{p1,p6,p8} ; {p2,p5,p10} ; {p3,p4,p11} ; {p7,p9}.
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