A638. Une collection de poids en laiton
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection. Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Stéphane Rézel
On cherche d’abord une possibilité de répartition élémentaire de poids, satisfaisant l’énoncé, sans qu’il y en ait le nombre minimal.
Pour faire 6 lots de même masse, il faut au moins 6 poids. Pour pouvoir aussi faire 5 lots, on peut imaginer un ensemble de 5 x 6 poids. Ne pouvant séparer ces 30 poids en 4 lots identiques ; on double leur nombre qui passe à 60. Déduit autrement, le PPCM (4, 5, 6) = 60.
Une collection de 60 poids identiques de masse 1, permet en effet d’avoir 6 lots de masse 10, 5 lots de masse 12 et 4 lots de masse 15 :
Pour réduire leur nombre, il faut regrouper ces poids « élémentaires » en poids plus lourds. Pour constituer un lot de masse 10, on ne peut pas utiliser de poids dépassant une masse de 10.
Pour simplifier l’écriture, on notera par exemple « », un « poids de masse 10 ».
Comme on doit faire 5 lots de masse 12, avec des poids ne pouvant excéder une masse de 10, il faut au minimum deux poids par lot de masse 12 : il est donc impossible d’avoir une collection de moins de 10 poids.
On cherche à savoir si une collection de 10 poids est possible :
Une telle collection doit avoir au moins deux . Car s’il n’y en a aucun, il faudrait au minimum 12 poids pour établir les 6 lots de masse 10, ce qui est contradictoire. De la même façon, s’il n’y a qu’un seul , il faudrait au moins dix autres poids pour compléter les 6 lots de masse 10.
Dans une collection de dix poids avec deux , les compléments dans les lots de masse 12 sont deux . Cela nécessite deux pour compléter les deux lots de masse 10 utilisant les deux .
Les poids complétant les deux dans les lots de masse 12 sont deux . Qui a leur tour nécessitent deux pour deux lots de masse 10. Les deux composent le dernier lot de masse 12.
Cette unique répartition échoue cependant ; car pour permettre les 4 lots de masse 15, il est obligatoire d’avoir un minimum de 4 poids avec une masse impaire.
Dans une collection de dix poids avec trois , il faut trois pour compléter les lots de masse 12.
Ces trois ne peuvent pas être dans un même lot de masse 10, ce qui imposerait d’avoir 11 poids en tout. Ils ne peuvent pas être non plus chacun dans un lot de masse 10 différent, sous peine d’avoir deux et l’impossibilité d’avoir quatre poids de masse impaire.
Enfin, si deux sont dans un lot de masse 10, le complément serait obligatoirement un et on aurait toujours l’impossibilité d’avoir quatre poids de masse impaire.
Dans une collection de dix poids avec quatre , les poids complémentaires dans les lots de masse 12 sont quatre . Deux poids restent à définir ; il est donc impossible d’avoir quatre poids de masse impaire.
Enfin, il est impossible d’avoir une collection de dix poids avec cinq ou six , car les quatre lots de masse 15 ne peuvent tout simplement pas les accueillir.
Il est donc impossible d’avoir une collection de moins de 11 poids ; et compte tenu de la répartition suivante, le nombre minimal de poids dans la collection de Zig est 11.
10 10 2 …
10 10 2 …
2 8 8 4 …
2 8 8 4 …
4 6 6 6
4 6
10 10 2 …
10 10 2 …
10 10 2 …
2 _ _ _ …
2 _ _ _
2 _ _
10 10 2 10 5
9 1 9 3 9 6
8 2 8 4 8 7
7 3 7 5 5 4 3 2 1
6 4 6 5 1
5 5
