G109 – Faire durer le plaisir ou non [**** à la main]
Zig dispose de 20 € en euros et joue à la roulette.Celle-ci dispose de cases numérotées de 0 à 36 alternativement rouges et noires, à l'exception du zéro, vert.
Zig a deux options :
1) il joue son va-tout en une seule partie et mise 20 € sur une chance simple ,« Rouge » par exemple ,avec un gain de 20 € si la boule va dans une case rouge, sinon la mise est perdue. Zig rentre alors à la maison soit avec 40 € en poche soit les poches vides, 2) il joue plusieurs parties et à chacune d’elles il mise 1 € toujours sur une chance
simple : son gain est de 1 € si la boule va dans un bonne case, sinon la mise est perdue.
Il continue de jouer jusqu’à obtenir 40 € ou bien jusqu’à sa ruine.
Quelle option maximise sa probabilité de rentrer à la maison avec 40 € en poche?
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁ : p = 18/37 # 0.48648648648648648649 Q₂ :
Si pk désigne la probabilité d'arriver à 40 avant 0 sachant qu'on démarre de k, alors nous avons la relation de récurrence suivante :
pk = p.pk+1 + (1– p).pk-1 pour 1 ≤ k ≤39 et la condition aux limites p₀ = 0 et p₄₀= 1
C'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 qui se traite classiquement à l'aide de l'équation caractéristique est pX² - X + 1-p = 0 de discriminant 1 – 4p(1– p) = (1– 2p)²
D'où les solutions r = (1– p)/p = 19/18 et s =1 permettant d'exprimer pk = ark + bsk. La condition aux limites permet de déterminer les valeurs de a et b puisque : p₀ = 0 => a+b = 0 => b = – a
p₄₀ = 1 => a(r⁴⁰-- 1) = 1 => a = 1/(r⁴⁰– 1) Finalement pk= (rk – 1) / (r⁴⁰-- 1).
D'où p₂₀ = 1 / (r²⁰+ 1) = 12748236216396078174437376/50338209673942036367792977 # 0.25325168095907275118 < p = 18/37
