Enoncé G109 (Diophante) Faire durer le plaisir ou non
Zig dispose de 20 € en euros et joue à la roulette. Celle-ci dispose de cases numérotées de 0 à 36 alternativement rouges et noires, à l’exception du zéro qui est vert. Zig a deux options :
1) il joue son va-tout en une seule partie et mise 20 € sur une chance simple, « Rouge » par exemple, avec un gain de 20 € si la boule va dans une case rouge, sinon la mise est perdue. Zig s’arrête de jouer et rentre chez lui soit avec 40 € soit les poches vides,
2) il joue plusieurs parties et à chacune d’elles il mise 1 € toujours sur une chance simple : son gain est de 1 € si la boule va dans une bonne case, sinon la mise est perdue. Il continue de jouer jusqu’à obtenir 40 € ou bien jusqu’à sa ruine.
Quelle option maximise sa probabilité de rentrer à la maison avec 40 € en poche ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il y a 18 cases rouges, ce qui donne à Zig une probabilité 18/37 = 0,4864864. . .de gagner sa partie dans l’option 1.
Dans l’option 2, soitp(s) la probabilité d’atteindre un avoir de 40 € quand Zig dispose deseuros ; il s’agit de déterminerp(20). Misant 1 €, Zig obtient un avoir des+ 1 euros avec la probabilité 18/37, et un avoir des−1 euros avec la probabilité 19/37. On a ainsi
37p(s) = 18p(s+ 1) + 19p(s−1).
Les conditions aux limites sontp(0) = 0, p(40) = 1.
La récurrence p(s+ 1) = (37p(s)−19p(s−1))/18 donne successivement p(2)/p(1) = 37/18 = 19/18 + 1,
p(3)/p(1) = (37/18)(19/18 + 1)−19/18 = (19/18)2+ 19/18 + 1, soitp(2) = 18p(1)((19/18)2−1), p(3) = 18p(1)((19/18)3−1),
et on vérifie que p(s) = 18p(1)((19/18)s−1) vérifie la relation de récur- rence.
Faisants= 40, on a 1 = 18p(1)((19/18)40−1) =
= 18p(1)((19/18)20−1)((19/18)20+ 1) =p(20)((19/18)20+ 1).
La probabilité de gain dans l’option 2 est ainsi p(20) = 1
(19/18)20+ 1 = 0,25325168. . ..
C’est presque moitié moins que dans l’option 1. Il ne faut pas s’en étonner, car l’espérance mathématique dans une partie où on misemest −m/37 : sur l’ensemble de l’option 2, l’espérance est 40p(20)−20, soit un montant moyen de mises 740−1480p(20) = 365,18 euros. La perte en espérance est le coût du temps passé au plaisir de jouer.
Remarque. Zig pourrait aussi arbitrer entre probabilité de gain et longueur de partie en misant par montantsm(sous-multiples de 20 : 2, 4, 5, 10 euros) avec une probabilité de gainp= 1
(19/18)20/m+ 1, et un nombre moyen de partiesN = (740−1480p)/m, de l’ordre de (20/m)2.
m p N
1 0,253251. . . 365,18. . . 2 0,368031. . . 97,65. . . 4 0,432824. . . 24,85. . . 5 0,446142. . . 15,94. . . 10 0,472992. . . 3,997. . . 20 0,486486. . . 1
