D361. Le puzzle de l'icosaèdre
Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces soit égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.
PROPOSITION Th Eveilleau
L’icosaèdre est composé de 12 sommets, 30 arêtes et 20 faces.
Chaque face a 9 voisins par le sommet.
Analysons la somme 39 sur les faces de l’icosaèdre.
Essayons d’obtenir un maximum de faces ayant des entiers différents.
Pour cela on choisit les entiers les plus petits : De 0 à 8, nous avons :
0+1+2+3+4+5+6+7+8 = 36.
Pour avoir 39, il faut donc utiliser plusieurs fois les entiers les plus petits.
Si nous prenons 9 entiers différents dont 0, nous aurons 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 Trop grand.
Nous aurons donc un maximum de 9 chiffres à répartir sur les 20 faces du solide.
CONSTAT :
on ne peut pas placer le même entier sur 5 faces différentes de l’icosaèdre.
Voir figure suivante : on ne peut placer le même nombre que sur 4 faces différentes.
1°) Tentons la face centrale, gris clair, avec 0.
Les faces colorées en jaune sont interdites du marquage 0.
2°) On essaie ensuite une autre face vert clair.
Les faces vert foncé sont interdites du marquage 0.
Le tour du triangle dessiné représente une face et est aussi interdit.
3°) Tentons la face rose.
Les faces colorées en mauve sont interdites à leur tour
du marquage 0. Il ne reste plus que la face blanche face possible pour le marquage initial choisi dans la face centrale.
Donc seulement 4 faces pouvant contenir le même entier.
Cette analyse ne dépend pas de la face de départ choisie, ni bien entendu du nombre choisi.
Ne pouvant utiliser plus de 4 fois chaque entier, on ne pourra pas obtenir 39.
En effet, en prenant les plus petits entiers sur les 20 faces on atteint un minimum de 40.
Inutile de tenter les plus grands entiers.
Pour avoir 39, il faudrait pr exemple : 5*0 + 3*1 + 4*2 + 4*3 + 4*4.
Dans le cas présent, au mieux nous obtenons : 4*0 + 4*1 + 4*2 + 4*3 + 4*4 = 40 CONCLUSION
Si la somme totale est de 39, il y aura forcément deux faces ayant un sommet commun qui contiendront le même entier.
