Enoncé D345 (Diophante) Crédit revolving
Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm
× 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales,il obtient un solide de révolution représenté ci- après :
Calculer le volume de ce solide au mm3 le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale qui a la forme d’un parallélogramme dont les dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm et 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier,convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire. Qui a raison ?
Nota : Bien entendu la carte de crédit de Puce nécessite des lecteurs spé- cifiques...
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient b = AC = BD, c = AB = CD les côtés d’un parallélogramme ABDC tournant autour de la diagonale BC de longueura.
D vient en D0 après un demi-tour, BD0 coupe AC en N, N et A se projettent surBC respectivement en M, milieu de BC, etH.
Le volume étudié est le double de celui engendré par le quadrilatère ABM N, différence entre les triangles ABC et CM N.
V = 2π
3(BC·AH2−CM·M N2)
BC·AH = bcsinA, M N/CM = tanC = csinA/(b−ccosA), d’où en fonction deAeta=√
b2+c2−2bccosA V = 2π
3
b2c2sin2A
a − a3c2sin2A 8(b−ccosA)2
!
=
=πc2sin2A(3b2−c2−2bccosA)2−2(b2−c2)2 12(b−ccosA)2√
b2+c2−2bccosA
1/ Carte de Zig
b= 81, c= 54, a= 27√
13,sinA= 1,cosA= 0.
V = 341191π/√
13 = 304257,46 mm3, arrondi à 304257.
2/ Carte de Puce
V = 6561πsin2A (23−12 cosA)2−50 (3−2 cosA)2√
13−12 cosA
Selon Puce, ce volume atteindrait 15% de plus que le volume de Zig, soit 349896 mm3.
Le volume est une fonction rationnelle de cosA, croissante en cosA= 0.
Sa programmation sur tableur montre un maximum proche de 351511 pour A= 65◦020. L’assertion de Puce est justifiée, et sa carte a un angle compris entre 61◦ et 69◦.
