D345– Crédit revolving [*** à la main et avec l’aide d’un tableur]
Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm x 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales , il obtient un solide de révolution représenté ci-après :
Calculer le volume de ce solide au mm³ le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale qui a la forme d’un parallélogramme dont les
dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm x 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier,convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire. Qui a raison ?
Nota :Bien entendu la carte de crédit de Puce nécessite des lecteurs spécifiques...
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soit ABCD les sommets de cette carte avec AB =CD= 54 (27 * 2) et BC=DA= 81 (27 * 3).
Quand on fait tourner cette carte autour de sa diagonale AC, elle engendre deux cônes avec A comme Sommet et deux cônes avec C comme sommet. Soit I le milieu de AC, le plan perpendiculaire à BC passant par I est axe de symétrie de la figure.
Notons E l’intersection de la perpendiculaire issue de I avec BC et H la projection de B sur AC.
Le volume externe engendré par la rotation autour de BC est donc le double du volume engendré par la figure ABEI autour de AI. Celui –ci est constitué d’un cône de sommet A , de hauteur AH et de base circulaire de rayon BH et d’un tronc de cône de sommet C, de base circulaire de rayon BH, et de hauteurs CH et CI.
Le volume total peut alors se calculer très facilement : V= π *2/3 ** BH*BH *( AH + CH *(1 –(CI/CH)^3)).
On peut calculer toutes les valeurs précédentes à partir α mesure de l’angle BAC. On obtient : BH= 54*sin(α), AH=54*cos(α), CH= √ (81^2 -(54*sin(α))^2), CI=1/2 *(54*cos(α) +√ (81^2 - (54*sin(α))^2))
Dans le cas d’une carte habituelle rectangulaire on a α= arctang(1,5) soit approximativement 56,3° et on obtient V=304,2 Cm 3
Pour obtenir la valeur de α correspondant le volume maximal il faudrait dériver la formule donnant V en fonction de α et trouver la valeur de α annulant cette dérivée.
Un moyen beaucoup plus simple est d’utiliser directement un tableur pour trouver ce maximum. Il supérieur à 15%.
Voir feuille de calcul ci-après
