D345– Crédit revolving
Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm x 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales, il obtient un solide de révolution représenté ci-après :
Calculer le volume de ce solide au mm³ le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale qui a la forme d’un parallélogramme dont les dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm × 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier, convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire. Qui a raison ? Solution par Patrick Gordon
Traitons d'emblée le cas où la carte de crédit a la forme d’un parallélogramme de dimensions a et b (ici a = 54mm; b = 81mm) et de petit angle BAD . Le parallélogramme est défini de manière univoque par la donnée de a, b, .
La carte de crédit rectangulaire sera un cas particulier avec = BAD = π/2.
Par définition le petit angle BAD est aigu. Jusqu'à nouvel ordre l'angle = ABD le sera aussi et BD sera la petite diagonale, comme sur la figure.
Si l'on fait tourner la carte autour de la petite diagonale BD, on forme 2 fois (par symétrie) : - un cône V1 engendré par le triangle rectangle ABH (H étant le projeté de A sur BD), - un tronc de cône V2 engendré par le trapèze rectangle AHIM (I étant le milieu de BD
et IM perpendiculaire à BD).
Or sin se déduit de sin par sin = b sin / d
Par ailleurs d se déduit de a b et cos par : d² = a² + b² – 2ab cos
et on peut ainsi calculer, en fonction en dernier ressort de a, b et sin toutes les dimensions du triangle ABH et du trapèze AHIM.
L'expression littérale de V1 et V2 est naturellement possible mais assez lourde et il est
préférable de calculer les angles et les longueurs de proche en proche au moyen d'un tableur, à savoir :
V1 = π/3 AH² BH
V2 = π/3 (AH² + AH MI + MI²) HI avec (dans les conditions de la figure) :
AH = a sin BH = a cos
MI = AH d/2(d – BH) HI = d/2 – BH
Le volume total du solide de révolution est V = 2(V1 + V2).
Cas du rectangle
Dans ce cas, = BAD = π/2 et tan = b/a.
Le calcul au moyen d'un tableur comme indiqué ci-dessus donne : V = 304 257 mm³.
Cas du parallélogramme
Avec une carte en forme de parallélogramme de mêmes côtés et de petit angle = 1,135 radian, soit environ 65,03°, on trouve (toujours en tournant autour de la petite diagonale) un solide de volume 351 511 mm³, soit une augmentation de 15,53 %.
Conclusion
Ce résultat répondant à la question de l'énoncé (Puce a raison), il est inutile d'examiner le cas où l'angle = ABD serait obtus ni celui où l'on ferait tourner la carte autour de la grande diagonale.
