Crédit revolving
Problème D345 de Diophante Zig dispose d’une carte de crédit, qui a la forme d’un rectangle de 81 mm x 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales, il obtient un solide de révolution représenté ci-contre :
Calculer le volume de ce solide au mm3 le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale, qui a la forme d’un parallélogramme, dont les dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm x 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier, convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire.
Qui a raison ? Nota :Bien entendu la carte de crédit de Puce nécessite des lecteurs spécifiques...
Solution
Considérons un parallélogramme ACBD que nous faisons tourner autour de sa diagonale AB. On note AC = a et BC = b et on suppose a ≤ b.
Le point C se projète en H sur AB (entre A et B) et la médiatrice de AB coupe AB en M et BC en N. On note AH = u ; BH = v ; CH = R et MN = r.
On note U, V, W les volumes engendrés par rotation de AC, BC, BN. Ainsi, le volume engendré par la rotation du parallélogramme ACBD vaut alors 2*(U+V-W).
Avec : U = π u R2 / 3 , V = π v R2 / 3 , W = π (u+v) r2 / 6 .
On considère que a et b sont donnés. Seul R varie entre 0 et a.
Exprimons tout en fonction de R :
u = racine (a2 – R2) v = racine (b2 – R2) 2 r = R (u+v) / v cos C = [ a2 + b2 - (u+v)2 ] / 2ab
Pour a = 54 et b = 81, utilisons un tableur. Il vient :
Le volume du solide engendré par la carte bleue mesure 304 257 mm3.
La carte rose, dont l'angle aigu mesure 65°, engendre un volume supérieur de plus de 15 % à celui engendré par la carte bleue.
C'est Puce qui a raison.
