D 345. Crédit revolving. ***
Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm × 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales, il obtient un solide de révolution représenté ci-après :
Calculer le volume de ce solide au mm
3le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale qui a la forme d’un parallélogramme dont les
dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm × 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier, convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire. Qui a raison ?
Solution proposée par Michel Lafond:
En prenant pour unité 27 mm, les dimensions de la carte sont 2 × 3.
Le volume V0 du solide est égal au double du solide de révolution obtenu en faisant tourner la ligne [OAB] (en gras) autour de l’axe Ox.
L’abscisse de A est
et celle de B est .
L’équation de [OA] est et celle de [AB] est . Donc :
[En mm3 cela donne 304257 mm3 environ]
Si maintenant, la carte a la forme d’un parallélogramme, les deux diagonales n’ont pas la même longueur.
Le calcul mené avec pour axe de rotation la grande diagonale donne un volume supérieur à V0 mais seulement de 6%. Il est obtenu sans surprise dans le cas de figure ci-dessous :
A
O 2 B
3
b
2
x a
La surprise vient de ce que, si on fait tourner la carte autour de la petite diagonale, on peut obtenir un volume supérieur de 15 % à V0
On a, avec la figure ci-dessus (dans laquelle :
Donc et
Le volume du solide est égal au double du solide de révolution obtenu en faisant tourner la ligne [OAB] (en gras) autour de l’axe Ox.
L’équation de [OA] est et celle de [AB] est . Donc :
Lorsqu’on fait varier , pour on trouve un volume de 17,8586… soit plus de 15,5 % par rapport à V0.
O x
2 3
axe de rotation
O
x 2
3
axe de rotation
h A
B
a b c
