Equilibre d’un corps solide pouvant tourner autour d'un axe fixe

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Physique – Chimie Mécanique Equilibre d’un corps en rotation autour d'un axe fixe

1 mahajarmpcnd@gmail.Com

Pr. HICHAM MAHAJAR

Troisième Partie : équilibre d’un corps solide

Unité 7

Pr. HICHAM MAHAJAR

تباث روحم لوح نارودلل لباق بلص مسج نزاوت

Equilibre d’un corps solide pouvant tourner autour d'un

axe fixe

Tronc Commun Physique-Mécanique

Page : ^𝟏

𝟒

 Un corps solide est en rotation autour d'un axe fixe si tous ses points dans un mvt circulaire centrés dans l’axe de rotation (𝜟), sauf pour les points de l’axe (𝜟).

 La force de 𝑭⃗⃗ a un effet de rotation sur un corps solide qui peut tourner autour d'un axe fixe (𝜟) si sa ligne d’action n'est pas parallèle à l'axe (Δ) et ne se croise pas avec lui.

 La force qu’on choisit pour tourner un corps solide augmente lorsqu'on approche de l'axe de rotation (𝜟).

 Le moment de force 𝑭⃗⃗ par rapport un axe fixe (Δ) est le produit de l'intensité 𝑭 de cette force et la distance 𝒅 entre la ligne d’action et l'axe (∆) : 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = ± 𝑭. 𝒅

←

𝑵. 𝒎 .

 Le théorème de moments : Lorsqu'un corps solide est en équilibre, alors la somme algébrique de moments de toutes les forces est nulle. ∑ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝟎 ^.

 Les Conditions d’équilibre : * La somme vectorielle des forces est nulle ∑ 𝑭⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ .

* La somme algébrique de moments de toutes les forces est nulle. ∑ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝟎 . Ces conditions sont nécessaires pour obtenir l’équilibre, mais elles sont insuffisantes .

 Les forces 𝑭⃗⃗ _𝟏et 𝑭⃗⃗ _𝟐 forment un couple de deux forces capable de tourner un corps

solide au même sens, si : * ∑ 𝑭⃗⃗ = 𝑭⃗⃗ _𝟏 + 𝑭⃗⃗ _𝟐 = 𝟎⃗⃗ * N’ont pas la même ligne d’action .

 Le moment de couple de deux forces 𝑭⃗⃗ _𝟏et 𝑭⃗⃗ _𝟐 est le produit de 𝑭 l’intensité commune et 𝒅 la distance qui sépare leurs deux droites d’actions : 𝓜_𝑪 = ± 𝑭. 𝒅 .

 pendule de torsion constitué d'un fil d'acier cylindrique et son axe vertical fixé au-dessus par un cylindre gradué de 𝟎° à 𝟏𝟓𝟎° mais sa partie inférieur porte une barre métallique homogène horizontale. Le moment de couple de torsion est :

𝓜

_𝑻

= −𝑪. 𝜽

Cocher la réponse exacte.

*Un corps solide est en rotation autour d'un axe fixe si tous ses points dans un mvt :

□ linéaire □ circulaire centrés □ rectilignes

* La force de 𝑭⃗⃗ a un effet de rotation si sa ligne d’action n'est pas :

□ parallèle à l'axe et se croise avec lui

□ perpendiculaires à l'axe et se croise avec lui

□ parallèle à l'axe et ne se croise pas avec lui

* lorsqu'on éloigne de l'axe. La force :

□ augmente □ diminue □ reste constante

*La 1^er Condition d’équilibre :

□ ∑ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝟎 □ ∑ 𝑭⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ □ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝑭. 𝒅

*La 2^éme Condition d’équilibre :

□ ∑ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝟎 □ ∑ 𝑭⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ □ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝑭. 𝒅

* Ces conditions sont ………….. pour obtenir l’équilibre, mais elles sont ……….. .

* 𝑭⃗⃗ _𝟏et 𝑭⃗⃗ _𝟐 forment un couple de deux forces capable de tourner un corps au 𝒎̂ sens, si :

□ 𝑭⃗⃗ _𝟏 = −𝑭⃗⃗ _𝟐 et ont la même direction

□ 𝑭⃗⃗ _𝟐 = −𝑭⃗⃗ _𝟏 et ont la même ligne d’action

□ 𝑭⃗⃗ _𝟐 = −𝑭⃗⃗ _𝟏 et n’ont pas la 𝒎̂ ligne d’action

* Le moment de couple de torsion est :

□ 𝓜_𝑻 = ±𝑪. 𝜽 □ 𝓜_𝑻 = −𝑪. 𝜽 □ 𝓜_𝑻 = 𝑪. 𝜽

Exercice : 1

QCM

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Equilibre d’un corps solide pouvant tourner autour d'un

axe fixe

Tronc Commun

Physique - Mécanique

Page : ^𝟐

𝟒

Sur un disque de rayon 𝑹 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 , on applique des forces de même intensités égale à 𝑭 = 𝟏𝟎 𝑵 et

appartiens au plan vertical du disque.

Calculer le moment de ces forces par rapport à un axe passant par 𝑶 (centre du disque) et perpendiculaire au plan du disque.

On donne : 𝜶_𝟏 = 𝟔𝟎 ° et 𝜶_𝟐 = 𝟑𝟎 °

La figure ci-contre représente un disque (𝑫) pouvant tourner sans frottement autour d'un axe fixe (𝜟) . (𝐒_𝟏) de masse 𝒎_𝟏 et (𝐒_𝟐) de masse 𝒎_𝟐 .

1- Faire l’inventaire des forces appliquées au disque (𝑫) .

2- Donner l'expression du moment de toutes les forces appliquées au disque (𝑫) .

3- En appliquant le théorème de moments, démontrer que: 𝒎_𝟐 = 𝒎_𝟏. ^𝑨𝑮

𝑮𝑩.𝐜𝐨𝐬 𝜶 .

Le pont 𝑶𝑩 est homogène. Le câble 𝑯𝑩 est perpendiculaire au pont.

1- Faire l’inventaire des forces appliquées au pont 𝑶𝑩 et Représenter ces forces .

2- Déterminer la tension du câble lorsque le pont 𝑶𝑩 est en équilibre (∑ 𝓜_∆(𝑭⃗⃗ ) = 𝟎) . 3- Déterminer l'action du sol en 𝑶 lorsque le pont 𝑶𝑩 est en équilibre (∑ 𝑭⃗⃗ = 𝟎) .

On donne : Masse du pont 𝑴 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒈 , 𝑶𝑩 = 𝟒 𝒎 et 𝜶 = 𝟎, 𝟒 𝒓𝒂𝒅 .

On considère une tige rigide et homogène de longueur 𝑳 = 𝑨𝑩 et de masse 𝒎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒈 en équilibre horizontale, pouvant tourner autour d'un axe horizontal fixe (𝜟) passant du point 𝑶 où 𝑨 = ^𝑳_𝟒 .

Au point 𝑩, on fixe un fil inextensible passant par la gorge d’une poulie et

maintient à l'autre extrémité un corps (𝐒) de masse 𝒎_𝟎 . Sachant que la direction du fil forme un angle 𝜶 = 𝟑𝟎 ° avec la droite horizontale passant de 𝑶 et .

On donne : 𝒈 = 𝟏𝟎 𝑵. 𝒌𝒈^−𝟏

1- Faire l’inventaire des forces appliquées à la tige (𝑨𝑩) .

2- Donner l'expression du moment de toutes les forces appliquées à la tige (𝑨𝑩) .

3- En appliquant le théorème de moments, déterminer 𝑻 l'intensité de la force appliquée par le fil sur la tige (𝑨𝑩) .

4- Déduire la valeur de 𝒎_𝟎 masse du corps(𝐒).

Exercice : 2

Exercice : 3

Exercice : 5

Exercice : 4

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axe fixe

Tronc Commun

Page : ^𝟑

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On considère une poulie homogène ( à deux gorges), sa masse est

négligeable et pouvant tourner autour d'un axe fixe

horizontal (𝜟) passant de son centre 𝑶 . On fixe un fil inextensible passant par la gorge de rayon 𝑹_𝟏 et à l'autre extrémité un corps (𝐒) de masse 𝒎 = 𝟐𝟎𝟎 𝒈 . Afin de maintenir l'équilibre de la poulie, on applique sur la gorge de rayon 𝑹_𝟐 une force de 𝑭⃗⃗ qui forme un angle 𝜶 = 𝟒𝟓 ° avec l’horizontale.

On donne : 𝒈 = 𝟏𝟎 𝑵. 𝒌𝒈^−𝟏 et 𝑹_𝟐 = 𝟐 𝑹_𝟏 . 1- Faire l’inventaire des forces appliquées à la poulie qu’est en équilibre.

2- Donner l'expression du moment de toutes les forces par rapport à l'axe (𝜟) .

3- Trouver la valeur de .

4- Déterminer les caractéristiques de 𝑹⃗⃗ la force appliquée par l'axe (𝜟) .

Le dispositif représenté par la figure 1 comprend :

 Une poulie à deux gorges pouvant tourner sans frottement autour d'un axe fixe (𝜟) horizontal passant par le point .

 Deux fils (𝒇_𝟏) et (𝒇_𝟐) fixés respectivement aux gorges, enroulés sur celles-ci et

supportant les masses 𝒎_𝟏 et 𝒎_𝟐 .

1- Calculer 𝒎_𝟐 pour que le dispositif soit en équilibre.

On remplace la masse 𝒎_𝟐 par un ressort de constante de raideur 𝑲 = 𝟐𝟎 𝑵. 𝒎^−𝟏 dont l'extrémité inférieure est fixée (figure 2).

2- Calculer l'allongement du ressort à l'équilibre du dispositif .

On donne : 𝒎_𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒈 , 𝒓_𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 , 𝒓_𝟐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎 et 𝒈 = 𝟗, 𝟖 𝑵. 𝒌𝒈^−𝟏.

On considère

qu'une barre rigide

et homogène de longueur 𝑳 = 𝑨𝑩 pouvant tourner autour d'un axe horizontal fixe (𝜟) passant au centre d’inertie 𝑮 où elle est en équilibre lorsqu’elle est en position horizontale. 1- Faire l’inventaire des forces appliquées à la barre (𝑨𝑩) .

2- Rappeler les conditions d’équilibre de la barre (𝑨𝑩) .

3- Par deux fils, on applique deux forces 𝑭⃗⃗ _𝟏 et 𝑭⃗⃗ _𝟐 de même intensité 𝑭 = 𝟐 𝑵. En

appliquant une force 𝑻⃗⃗ par un ressort pour garder la barre(𝑨𝑩)en équilibre horizontal.

3-1- Les forces 𝑭⃗⃗ _𝟏 et 𝑭⃗⃗ _𝟐 forment-elles un couple de forces ?

3-2- Etudier l'équilibre de la barre(𝑨𝑩) et déduire la valeur de 𝑻 tension du ressort.

3-3- En utilisant la méthode géométrique, déduire la valeur de 𝑹 l'intensité de la force appliquée par l'axe (𝜟) sur la barre(𝑨𝑩) . L'échelle 𝟏 𝑵 → 𝟏 𝒄𝒎 .

Exercice : 6

Exercice : 7

Exercice : 8

On donne : 𝑷 = 𝟑𝑵 et 𝑪𝑮 = 𝑬𝑮 = ^𝑳_𝟒

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axe fixe

Tronc Commun

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La figure ci-dessous schématise une pédale d'accélérateur d'automobile. Elle est mobile autour de l'axe horizontal 𝑶, le ressort 𝑨𝑩, perpendiculaire à la pédale, la pédale est en équilibre si sa position

correspondant à l'angle 𝜶 = (𝑨𝑶𝑩̂ ) = 𝟒𝟓° .

On donne : Poids de la pédale 𝑷 = 𝟏𝟎 𝑵 , 𝑶𝑮 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 et 𝑶𝑩 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.

1- Déterminer la valeur de 𝑻 tension du ressort à l'équilibre.

2- Déterminer les caractéristiques de 𝑹⃗⃗ la réaction de l'axe sur la pédale.

3- Calculer l’angle aigu 𝜷 que fait 𝑹⃗⃗ avec l'horizontale.

La figure ci-contre représente une barre homogène 𝑨𝑩 de section fixe et de longueur 𝑳 suspendue au milieu 𝑶 avec un fil métallique 𝑶𝑴_𝟏 de constante de torsion 𝑪_𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟑 𝑵. 𝒎. 𝒓𝒂𝒅^−𝟏. On applique sur la barre 𝑨𝑩 un couple de forces (𝑭⃗⃗ _𝟏, 𝑭⃗⃗ _𝟐) (où leurs lignes d'actions est toujours

perpendiculaire à elle et située au plan horizontal qui la traverse) la barre 𝑨𝑩 tourne à un angle 𝜽 et le fil est torsadé, alors la barre 𝑨𝑩 reste en équilibre.

1- Faire l’inventaire des forces appliquées à la barre 𝑨𝑩 .

2- Donner l'expression du moment de toutes les forces appliquées à la barre 𝑨𝑩 .

3- En appliquant le théorème du moment, trouver la relation entre 𝓜_𝑻 le moment du torsion et 𝓜_𝑪 le couple des forces (𝑭⃗⃗ _𝟏, 𝑭⃗⃗ _𝟐).

4- Calculer la valeur de l’angle 𝜽 sachant que 𝑭_𝟐 = 𝟑. 𝟏𝟎^−𝟐𝑵 .

5- On ajoute au montage précédent un autre fil 𝑶𝑴_𝟐 de même type et section, de constante de torsion 𝑪_𝟏 . On applique un couple de forces (𝑭⃗⃗ _𝟏^′, 𝑭⃗⃗ _𝟐^′) et la barre 𝑨𝑩 reste en équilibre .

5-1- Etudier l'équilibre de la barre(𝑨𝑩) , et déduire la valeur de 𝓜_𝑪^′ le couple de forces (𝑭⃗⃗ _𝟏^′, 𝑭⃗⃗ _𝟐^′) en fonction de 𝑪_𝟏, 𝑪_𝟐 et 𝜽 .

5-2- On change 𝑭^′ l'intensité commune de forces

appliquées à la barre 𝑨𝑩 et on mesure l’angle 𝜽 .

Le diagramme ci-contre représente une variation de 𝓜_𝑪^′ en fonction d'angle 𝜽 . Déterminer géométriquement la valeur de 𝑪_𝟐.

Exercice : 9

Exercice : 10