Equilibre d'un corps susceptible de tourner autour d'un axe fixe

(1)

2-Moment d’une force par rapport à un axe fixe 1-2-Définition du moment d’une force :

(Δ) axe de rotation

• si on exerce sur une porte ouverte une force parallèle à l’axe de rotation, celle-ci ne tourne pas.

• si on exerce sur cette porte une force dont la droite d’action coupe l’axe, elle ne tourne pas non plus

• une force perpendiculaire à l’axe de

rotation, provoque une rotation. L’efficacité de la rotation dépend de l’intensité de la force et de la position de la droite d’action, par rapport à l’axe de rotation.

F1

F2

F3

1-Effet d’une force sur la rotation d’un solide

Le moment d’une force par rapport à un axe est le produit de l’intensité de cette force par la distance d entre la droite d’action de la force et l’axe de rotation . On le notera :

(F) = F.d M 

F

(m) (N.m) (N)

L’unité du moment est le N.m

(F) M

Equilibre d'un corps susceptible de tourner autour d'un axe fixe

Chapitre 7 :

( )

F1

F2

F3

(Δ)

.

^d ^F

(2)

2-2-Le moment est une grandeur algébrique : Le moment peut être positif ou négatif. Son signe dépend du sens positif arbitraire choisi.

M _Δ(F) = +F .d₁ ₁ M _Δ(F) = -F .d₂ ₂

3-Condition d’équilibre d’un solide mobile autour d’un axe fixe . -Le dispositif suivant est constitué d’une

plaque mobile autour d’un axe horizontale (Δ).

-Fixons au plaque un lest de masse m₂. -Fixons en un point A l’extrémité d’un fil

portant une masse m₁ permettant de ramener la plaque à l’équilibre .

On donne: m₁= 80g , m₂=120g ,

d₁=15cm , d₂=10cm , g=10N.Kg^-1 . 1-3-Expérience :

1-Faire le bilan des forces s'exerçant sur la plaque . 2-Sur la figure ci-dessus, tracer ces forces.

3-Calculer le moment de chaque force

4-Calculer la somme des moments des forces .

5-Refaire l’expérience pour différentes positions du point A en choisissant la masse m₁ afin que le système soit en équilibre, conclusion .

(Δ)

 d₁ d2

F2

F1

.

^A



d2 d₁

F1

(Δ) .

plaque

masse m1

.

F2

Lest m₂

𝑷

𝑹

(3)

Lorsqu’un solide, mobile autour d’un axe fixe, est en équilibre, la somme algébrique des moments par rapport à cet axe, de toutes les forces extérieures appliquées à ce solide est nulle :

2-3-Théorème des moments:



^M Δ (F ) = 0i



Lorsque un solide est en équilibre, deux conditions doivent être satisfaites :

-Immobilité du centre de gravité G

-Absence de rotation autour de l’axe Δ

F

ext

= 0



^M ^Δ^{(F ) = 0}^ext

4-Couples de forces .

1-4-Définition d’un couple de forces:

Un couple de force est un système de deux forces parallèles, de sens contraires, de même intensité

F=F

₁

=F

₂ et n’ayant pas la

même droite d′action.



^{F ,F}¹ ²



^couple ^{F + F = 0}¹ ²

droites d'actiondifférentes.







^{F ,F}¹ ²



3-3-Conditions générales d’équilibre

(4)

F1

F2

F1

2-4-Moment d’un couple:

- La plaque étudié dans l’expérience (1-3) mobile autour d’un axe (Δ) est soumise à un couple de forces



^{F ,F}¹ ²



(Δ) .

plaque

masse m1

la polie

.

^A



d2

d1

F1

F2

. B

masse m2

- Déterminer le moment du couple: ^M Δ



^{F ,F}¹ ²



d

Les forces exercées par les deux files f₁ et f₂ notés respectivement et ont la même intensité.

F1 F2

1 2

F = F = F = m.g



^m ^ ^m₁ ^ ^m₂



f2

f1



^{F ,F}¹ ²



M _Δ = +F .d1 1  F .d2 2 = F.(d₁ d₂)

= F.d



^{F ,F}¹ ²



M _Δ

(5)

Le moment d’un couple de forces , par rapport à un axe de

rotation , est égal au produit de l’intensité commune F des deux forces et la distance d qui sépare les droites d’action de ces deux forces :

-Remarque : Le moment d’un couple de force ne dépend pas de la position de l’axe de rotation mais seulement de la distance des deux lignes d’actions .

5-Couple de torsion .

F2

F1

P

R



 ^

Support Fil en acier

Tige



* Un pendule de torsion est un solide suspendu à un fil vertical, est fixée au centre d’une tige, l'autre extrémité du fil étant maintenue fixe dans un support.

*Lorsqu’on exerce sur la tige un couple de moment , il provoque une

rotation autour de l’axe (Δ) ; qui s’accompagne d’une torsion du fil .



^{F ,F}¹ ²



*À l’équilibre le fil tordu exerce

sur la tige un couple , appelé couple de torsion de moment:

1-5-Couple de torsion:

3-4-Définition du moment de couple de forces

𝑴_∆ 𝑭_𝟏, 𝑭_𝟐 = 𝑴_𝑪 = ∓ 𝑭 × 𝒅

𝑭_𝟏, 𝑭_𝟐

𝑴_𝝉

(6)

M  M _

-la force Exercée par le fil.

-son poids:

-le couple de forces:

P ^R



^{F ,F}¹ ²



-le couple de torsion de moment: 𝑴_𝝉

* À l’équilibre la tige est soumise à :

* Pour trouver l’expression de 𝑴_𝝉 en utilise le montage suivant :

On donne m₁=m₂ donc F=F₁=F₂

M _(F ) = 0i

(P) + (R) + (F , F ) +¹ ² 0

= -F .d

M 

1 2

(F , F ) M 

-

3-5-Expression de 𝑴_𝝉 :

*D’après le théorème des moment : D’ où :

Donc :

m1

P R

F2



 tige



Fil en acier support

d

m2

F1

0

* En faisant varier la distance d et l’intensité de F , l’angle θ varie .

nous représentons le moment en fonction de θ , on obtient les résultats suivantes :

1 2

(F , F ) M 

 ¹ 2-5-Moment du couple de torsion

𝑴_𝝉 =

𝑴_𝝉 = 0

(7)

θ(rad) θ°

=F.d d(m)

F(N)

0,16 9

0,004 0,04

0,1

0,24 14

0,006 0,06

0,1

0,48 28

0,012 0,06

0,2

0,64 37

0,016 0,08

0,2

0,96 55

0,024 0,08

0,3

1,20 69

0,030 0,10

0,3

M (F , F )(N.m)1 2

(rad)



Le graphe de variation de

1 2

(F , F ) M 

Le graphe est une droite passante par l’origine : ^M _^{(F , F}¹ ²^{) =} ^C^.^ Ou C est le coefficient directeur de la droite appelé constante de torsion du fil en N.m.rad^-1 .

 ¹

Et d’après la relation on peut écrire :

^rad

^{N.m / rad}

^N.m

C dépond de la longueur et du diamètre et de la nature (matière) du fil .

1 2

(F , F ) M 

en fonction de θ

𝑴_𝝉

= C.θ -

(8)

Exercice 1:

Une barre 𝐴𝐵 homogène, de masse 𝒎=𝟓𝟎𝟎𝒈, de

longueur L peut tourner autour d’un axe horizontal (Δ), passant par son extrémité A. Cette barre est maintenue en équilibre par un ressort horizontal de raideur K et de masse négligeable. La barre fait un angle 𝜶 = 𝟒𝟓°, par rapport à la verticale.

1-Énoncer le théorème des moments.

2-Faire l’inventaire des forces extérieures

s’exerçant sur la barre. Puis les représenter sur la figure. On donne : 𝒈=𝟏𝟎 𝑵/𝒌𝒈.

3-Exprimer le moment du poids de la barre par rapport à l’axe (Δ) en fonction de m, g, L et 𝛼.

4-Exprimer le moment de la force T par rapport à l’axe de rotation (Δ) en fonction de T, L et 𝛼.

5-En utilisant le théorème des moments, montrer que : 𝑻 = ^𝟏

𝟐 m g tan(𝜶) puis calculer sa valeur.

6-Sachant que le ressort s’allonge de Δ𝑳=𝟒𝒄𝒎, calculer la raideur 𝐾.

(9)

Exercice 2:

Un solide (S) de masse m = 200 g est relié à un fil de masse négligeable passant par la gorge d'une poulie à axe fixe (Δ), de masse

négligeable et de rayon r.

L'autre extrémité du fil est attachée à un ressort de raideur k et de masse négligeable. A l'équilibre, l'axe du ressort fait un angle a = 30° avec

l'horizontale et le ressort est allongé de Δ𝑳 = 4 cm. On néglige tout type de frottement.

1-Représenter les forces exercées sur le solide (S).

2-Écrire la condition d'équilibre de (S) et déterminer l'expression de la tension du fil f1, puis calculer sa valeur.

3-Représenter les forces exercées sur la poulie.

4-En appliquant le théorème des moments, déterminer la tension du fil f2. 5-Déduire la tension du fil f2 au point A.

6-Déterminer la valeur de la raideur du ressort k.

7-Par projection de la relation vectorielle, traduisant l'équilibre de la poulie, dans un repère orthonormé, montrer que la valeur de la réaction R de l'axe (Δ) est R = mg 𝟐(𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝛂) .Calculer sa valeur. On prendra : g = 10 N. kg^_1

(10)

(11)

Exercice 3:

(12)

Exercice 4:

(13)