D345. Crédit revolving
Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm x 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales,il obtient un solide de révolution représenté ci-après
Calculer le volume de ce solide au mm3 le plus proche.
Puce de son côté dispose d’une carte de crédit originale qui a la forme d’un parallélogramme dont les dimensions des côtés sont celles de la carte traditionnelle (81 mm x 54 mm). Il fait tourner la carte autour de l’une des diagonales et affirme que le solide de révolution qu’il obtient a un volume supérieur de 15% à celui obtenu par Zig. Ce dernier,convaincu que le volume maximum est atteint avec sa carte rectangulaire, ne veut pas le croire.
Qui a raison ?
Nota :Bien entendu la carte de crédit de Puce nécessite des lecteurs spécifiques...
Solution proposée par Gaston Parrour
Les notations sont celles de la figure :
→ en trait noir gras, une demi-carte ABC tournant autour de l'une de ses diagonales AB → en interrompu-court vert, la position ABC1 de l'autre moitié de la carte après un demi-tour
→ Par symétrie : le point M' intersection de AC et de BC1 se projette orthogonalement en M milieu de l'axe de rotation AB.
==> Le solide engendré est donc celui de la rotation de BCM'C1A autour de la diagonale AB h1 est la distance du sommet C à l'axe de rotation AB
h2 est la longueur du segment MM' de la médiatrice de AB compris entre AB et AC Dimensions de la carte : BC → a = 54 mm AC → b = 81 mm La mesure de AB est notée c
La projection de BC sur AB est notée x1 La projection de AC sur AB est notée x2 r = ang ABC de sommet B
s = ang BAC de sommet A
La droite supportant AC coupe en C' la perpendiculaire à AB en B
1 – Calcul du volume V généré par rotation autour de AB lorsque l'angle en C est 90 degrés
→ Par symétrie, le volume V est deux fois le volume V1 généré par la rotation de ACM'M autour de AB Le volume V1 est égal à la somme des volumes de deux cônes de base commune h1, l'un de hauteur x1, l'autre de hauteur x2 (avec x1+x2 = c) et à laquelle est soustrait le volume du cône de base h2 de hauteur c/2
C
B M A
h1 M'
h2 C'
r x1 H
a b
c
C1
s x2
V = 2V1 = (2pi/3) c ( h12 - h22/2 ) ( I ) → Avec ici un angle droit en C : c = (a2+b2)1/2 = a [(b/a)2 + 1]1/2
L'aire du triangle rectangle ABC, exprimée de deux façons, conduit à ab/2 = h1c/2 soit h1 = ab/c
D'autre part
h2/h1 = (c/2)/x2 or dans le triangle rectangle c x2 = b2 , d' où h2 = h1 c2/2b2 soit h2 = ac/2b
→ Avec ( I ), pour cette carte rectangulaire :
V = (2pi/3) a2 c [ (b/c)2 – (c/b)2/8 ]
→ Le rapport m = b/a Avec les données de l'énoncé m = b/a = 81/54 = 1,5 (b/a)2 + 1 = 3,25 et c = a (3,25)1/2
V = (2pi/3) a3 [ (1,5)2/(3,25)1/2 - (3,25)3/2/(1,5)2/8 ] , soit avec a = 54 mm V = 304 257 , 467 … mm3
==> Le volume engendré par la rotation de la carte rectangulaire autour d'une diagonale, est V = 304 257 mm3 ( au mm3 le plus proche )
Remarque : On peut noter ici que le volume V s'exprime par V = (2pi/3) a3 x K0
Où K0 est un facteur sans dimension qui multiplie le volume constant (2pi/3) a3 : K0 = 0,922 574 … → La question se pose alors de savoir si K0, associé à une carte rectangulaire, est le plus grand facteur possible.
Et si « non », existe-t-il un facteur K tel que (K – K0)/K0 est au moins égal à 15% ? 2 – Cas général : angle en C quelconque
On peut noter que la donnée des longueurs a de BC et b de AC , et celle de l'angle en C, déterminent complètement le triangle ABC.
Il en est de même avec la donnée de a , de b et d'un angle de ABC, autre que l'angle en C.
→ Dans la suite, l'angle en B noté r sur la figure , est utilisé pour préciser le triangle ABC . Ainsi, dans le cas particulier précédent, r = r0 est donné par
tan r0 = m (=b/a) ==> r0 = 56,3 … degré
Dans les deux cas limites r = 0 et r = 180 degrés, le volume engendré est nul : K = 0 → Il existe donc au moins un maximum de K pour 0 < r < 180 degrés
K0 déterminé ci-dessus est-il ce maximum ?
a/ cas simple : calcul du volume V' engendré par rotation autour d'une diagonale AB avec r = 90 degrés Dans ce cas C est en C' et
h1 = a h2 = a/2 c = a ( m2 – 1)1/2 c = a (1,25)1/2 et avec ( I ) V' = (2pi/3) a3 (1,25)1/2 (7/8)
soit K(90) = 0,978 279 (7)…
→ DONC: il existe des valeurs de K supérieures à K0 ; K0 précisé au point 1 précédent
et un maximum a lieu, soit pour r > 90, soit pour r compris entre r0 (56,3 … deg) et 90 degrés
Pour préciser cela :
b/ expression du volume V engendré par rotation dans le cas général : r quelconque Dans le triangle ABC :
b2 = a2+c2 – 2ac(cos r )
→ La seule racine positive de cette équation du second degré en c, est c = a[ cos r + (cos2r+( m2-1))1/2 ] avec m = b/a = 1,5
soit donc c = aR avec R = cos r + (cos2r + 1,25)1/2 (R sans dimension) (1) Pour l'angle s en A, on peut écrire :
cos s = (b2+c2-a2)/2bc soit
cos s = (b/c + c/b – a/b x a/c)/2 et, avec c = a R et m=b/a = 1.5 on obtient
→ cos s = (m/R + (R – 1/R)/m)/2 = (m + (R2-1)/m) / 2R (2) → la détermination principale fournit l'angle s en radian : s = Acos (cos s)
Ainsi h1 = a sin r
h2 = (c tan s)/2 = (aR tan s)/2 Et avec ( I ) , le volume V est
V = (2pi/3) a3 R [ sin2r - (R tan s)2/ 8 ] (3) == Le terme sans dimension K est donc, dans le cas général :
K = R [ sin2r - (R tan s)2/ 8 ] (4) où R est donné par (1) ci-dessus
N.B. Il n'est pas nécessaire pour calculer K, de « passer » par l'angle s : à partir de cos s donné par (2) ci-dessus, tan 2s = (1/cos2s) - 1
→ Pour déterminer si le maximum de K est entre r0 et 90 degrés : calcul de K (par exemple) pour r = 60 deg Alors cos r = 1/2
R = 1,72474 … (avec (1) ) ,
le calcul de cos s à partir de (2) , conduit à tan2s = 0,49999 ...
On obtient K(60) = 0,97 2890(9) …
Ce résultat est à rapprocher de K(90) = 0,97 8279(7)… obtenu ci-dessus en 2-a.
→ Ces 2 valeurs sont très voisines (variation relative inférieure à 1 % entre 60 et 90 degrés) ;
de plus K0(r0 = 56,3 …) = 0,92 257 (variation relative de presque 12% entre 56 degrés et 60 degrés ! ) → Cela laisse supposer un maximum pour K approximativement au milieu de l'intervalle en r [60,90] degrés → Calcul de K lié au volume de révolution autour d'une diagonale faisant r = 75 degrés avec le petit côté a Dans ce cas
cos r = 0,258 819(0) ...
avec (1) R = 1,406419(7) … avec (2) cos s = 0,7650671 ...
donc tan2 s = 1/cos2s - 1 = 0,708444 ...
Et avec (4) ==> K(r=75 degrés) = 1,065 852(7) …
→ Ceci, rapproché de K0 initial ( avec r0 = 56,3 … degré) , conduit a l'accroissement relatif : [K(75) - K0 ] / K0 = 15,53 … %
==> L'accroissement de volume d'au moins de 15 % est donc possible ==> «Puce a raison»
N.B. Avec ce qui précède, le maximum absolu est certainement pour r au voisinage de 75 degrés
