Enoncé A638 (Diophante) Une collection de poids en laiton
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas né- cessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection. Jus- tifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La masse totale de la collection, divisible par 4, 5 et 6, est divisible par leur PPCM 60. Prenant pour unité le soixantième de ce total, il faut répartir les poids en 4 lots de 15 unités, 5 lots de 12 unités, et 6 lots de 10 unités.
Ainsi aucun poids ne dépasse 10 ; les poids impairs, en nombre pair, sont au moins 4 pour former les lots de 15.
Une solution à ONZE poids est la suivante : 10, 10, 8, 7, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 2.
lots de 15 : 10+5, 10+5, 8+7, 4+4+3+2+2.
lots de 12 : 10+2, 10+2, 8+4, 7+5, 5+4+3.
lots de 10 : 10, 10, 8+2, 7+3, 5+5, 4+4+2.
