A638. Une collection de poids en laiton.
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection. Justifiez votre réponse.
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Posons sans perdre de généralité que le poids total est 60, permettant de constituer 6 lots de poids 10, 5 lots de poids 12 ou 4 lots de poids 15. Voyons ce que chaque configuration nous impose.
6 de 10 : impossible si un poids dépasse 10, donc les poids sont tous inférieurs ou égaux à 10.
5 de 12 : compte tenu de la limite de poids de 10, chaque lot contient au moins deux poids.
Conclusion : il n’existe pas de solution à moins de 10 poids. Supposons que chaque lot contienne exactement deux poids.
4 de 15 : notons que les poids des lots sont impairs.
Dans la configuration 6 de 10, avec 10 poids seulement, il y a forcément des lots constitués d’un seul poids de 10, soit n leur nombre. Il y a forcément un nombre égal de poids de 2 (pour compléter les poids de 10 dans la configuration 5 de 12).
A priori, les possibilités sont Configurations
6 de 10
n = 5 : 10, 10, 10, 10, 10, 2+2+2+2+2 n = 3 : 10, 10, 10, 2+8, 2+8, 2+a+(8-a) n = 2 : 10, 10, 2+8, 2+8, a+(10-a), b+(10-b) 5 de 12
n = 5 : 10+2, 10+2, 10+2, 10+2, 10+2
n = 3 : 10+2, 10+2, 10+2, 8+a, 8+(8-a) ce qui impose a = 4
n = 2 : 10+2, 10+2, 8+a, 8+(8-a), 8+b, 8+(8-b) ce qui impose a = b = 4 4 de 15
Impossible à réaliser car tous les poids ont des valeurs paires. Conclusion : Il n’existe pas de solution à 10 poids.
Voici une solution à 11 poids : dix s'échelonnant de 1 à 10 et un onzième de 5.
Configurations
6 de 10 : 10, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4, 5+5 5 de 12 : 10+2, 9+3, 8+4, 7+5, 5+6+1 4 de 15 : 10+5, 9+6, 8+7, 5+4+3+2+1
