A638 – Une collection de poids en laiton [*** à la main]
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection.Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Daniel Collignon
Si s désigne la somme des masses des poids, alors aucun ne pèse plus de s/6 car sinon il n'aurait pas sa place lors d'une répartition en 6 lots.
Il faut au moins 2*5=10 poids : en effet, puisque s/6 < s/5, alors chacun des 5 lots pesant s/5 nécessitera au moins 2 poids.
Supposons que cela soit possible avec 10 poids.
Il y a au moins 2 poids de s/6, sinon la répartition en 6 lots, chacun pesant s/6, nécessiterait au moins 11 poids.
Pour les 5 lots, chacun pesant s/5, nous aurions les poids s/6-s/30, s/6-s/30, …
Pour les 6 lots, chacun pesant s/6, nous aurions les poids s/6, s/6, s/30-2s/15, s/30-2s/15, …
Pour les 5 lots, chacun pesant s/5, nous aurions les poids s/6-s/30, s/6-s/30, 2s/15-s/15, 2s/15-s/15, …
Pour les 6 lots, chacun pesant s/6, nous aurions les poids s/6, s/6, s/30-2s/15, s/30-2s/15, s/15-s/10, s/15-s/10 Parmi les 4 lots, chacun pesant s/4, il y en a au moins 2 qui sont formés d'au plus 2 poids (application du principe des tiroirs). Compte tenu des poids en jeu (il n'y a pas s/4), il y en a au moins 2 qui sont formés d'exactement 2 poids.
Dans l'ensemble {s/6, 2s/15, s/10, s/15 et s/30}, il n'y a ni s/8, ni 2 fractions de somme s/4: c'est donc impossible.
Voici un exemple avec 11 poids : 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10 6 lots, chacun pesant 10 : 10, 9-1, 8-2, 7-3, 6-4, 5-5
5 lots, chacun pesant 12 : 10-2, 9-3, 8-4, 7-5, 6-5-1 4 lots, chacun pesant 15 : 10-5, 9-6, 8-7, 5-4-3-2-1
Référence : Problème 10 "les lingots", de la finale du 33ème championnat FFJM 29/8/2019 https://fsjm.ethz.ch/static/oldwebsite/documents/33_FI-Enonces-B.pdf
https://fsjm.ethz.ch/static/oldwebsite/documents/33_FI-DiaporamaSolutions.pdf
