A729. Oὐκ ἔλαβoν πόλιν ?
On vous présente 100 pièces de monnaie d'apparence identique mais 4 d'entre elles de même poids sont plus lourdes. Vous disposez d'une balance Roberval à deux plateaux. Quel est le nombre minimal de pesées qui permet d'identifier de manière certaine au moins une pièce bonne ? 1 ?, 2 ?, 3 ?, 4 ?, ≥ 5 ?
Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Daniel Collignon 1) C'est réalisable en 2 pesées.
Notons B/F une bonne/fausse pièce.
On divise les 100 pièces en 3 tas X, Y, Z respectivement de 33, 33 et 34 pièces.
1ere pesée : X|Y
Si X>Y alors Y contient 0 ou 1 F.
On divise les 33 pièces de Y en 3 tas U, V, W respectivement de 16, 16 et 1 pièce.
2eme pesée : U|V
Si U>V (on peut échanger le rôle de U et V sans perte de généralité) alors V et W ne contiennent que des B Si U=V alors U et V ne contiennent que des B
Si X=Y alors on prélève 1 pièce de X et on l'ajoute à Y devenant Y'.
2eme pesée : Y'|Z
Si Y'>Z alors Z ne contient que des B
Si Y'=Z alors la pièce ajoutée est F et les autres pièces de X sont B Si Y'<Z alors la pièce ajoutée est B
Nota
En adaptant cette démonstration avec 3 tas de 29, 29 et 42 pièces, on peut montrer un résultat encore plus fort : en 2 pesées, on peut déterminer 13 bonnes pièces.
Peut-on faire mieux que 13 ?
2) Voici un algorithme permettant de déterminer une bonne pièce en au plus 3 pesées 1ère pesée : 50 | 50
Cas = => on se ramène au même problème avec 50 pièces dont 2 plus lourdes 2ème pesée : 25 | 25
Cas = => on se ramène au même problème avec 25 pièces dont 1 plus lourde 3ème pesée : 12 | 12
Cas = => n'importe quelle pièce de la pesée est bonne (3 pesées)
Cas > => n'importe quelle pièce de droite ou la pièce écartée sont bonnes (3 pesées) Cas > => n'importe quelle pièce de droite est bonne (2 pesées)
Cas > => on se ramène au même problème avec 50 pièces dont 0 ou 1 plus lourde 2ème pesée : 25 | 25
Cas = => n'importe quelle pièce de la pesée est bonne (2 pesées) Cas > => n'importe quelle pièce de droite est bonne (2 pesées)
