E436. Le bon vieux tic-tac-toé
A tour de rôle le joueur A et le joueur B écrivent respectivement le chiffre 1 et le chiffre 0 dans l’un des cases vides d’une matrice M(3x3) jusqu’à la remplir avec cinq « 1 » et quatre « 0 ». Le joueur A gagne si le déterminant associé à M est non nul et a contrario le joueur B gagne si ce déterminant est nul. En supposant que les deux joueurs adoptent des stratégies optimales, quel est le gagnant ? Pourquoi ?
c'est B qui gagne.
Dans un déterminant, on peut intervertir lignes entre elles, colonnes entre elles, intervertir lignes et colonnes, sa valeur est constante. On a ainsi des classes de déterminants.
1/ donc A n'a que 2 possibilités (classes) réelles:
1 _ _ 1 0 _ _ 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2/ B fait:
1 0 _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 _ _ _ _ _ _ _
3/ A est obligé de placer "1" en (3,2), sinon le déterminant est nul, et a 4 possibilités pour "0":
1 0 _ 1 0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 0 1 0 _ 0 1 _ _ 1 _ _ 1 _ _ 1 0
En fait 2 et 3 appartiennent à la même classe
3/ Si on développe le déterminant selon la colonne n°2, on voit que l'enjeu se situe en (1,3) et (2, 3). B joue ainsi:
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 1 0 _ 0 1 0 _ 1 1 _ 1 1 0 1 0
4/ Dans tous les cas, ajouter "1" conduit aux déterminants nuls: B gagne.