2 Devoir Commun de Mathématiques 2 ième nde

2 ^ième Devoir Commun de Mathématiques 2 ^nde

Exercice 1 1.

2. Probabilité que l'élève n'ait pas eu de mention = ¹⁷⁵₃₅₀=¹

2

3. Probabilité qu'il ait mention "Optimal" et qu'il n'ait pas choisi Sortilège = ₃₅₀¹⁰ = ¹

35≈ 0,03.

4. Probabilité que cet élève ait obtenu la mention "Optimal" = ²⁵

270= ⁵

54≈ 0,09 Exercice 2

1.

2. Il y a 12 issues possibles.

3. On considère les évènements

A : « le premier bonbon a un goût de fruit », (Ici les goûts fruits sont Kiwi et Framboise) B : « Un des bonbons a le goût de poubelle ».

a) 𝑃(𝐴) = ⁶

12= ¹

2 et 𝑃(𝐵) = ⁶

12= ¹

2

b) 𝐴 ∩ 𝐵 : « le premier bonbon a un goût de fruit et l’un des bonbons a le goût de poubelle ».

c) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 2 ×¹

4×¹

3=¹

6 .

K

1 4

F

1 3 1 P

3

C

1 3

F

1 4

K

1 3 1 P

3

C

1 3

P

1 4

K

1 3 1 F

3

C

1 3

C

1 4

K

1 3 1 F

3

P

1 3

Option

Mentions Sortilège Pas Sortilège Total

Optimal 25 35 – 25 = 10 10% de 350 = 35

Effort Exceptionnel 1

3× 270 = 90 80 – (10 + 20) = 50 90 + 50 = 140

Sans Mention 270 – (25 + 90) =155 20 155 + 20 = 175

Total 270 350-270 = 80 350

d) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =¹

2+¹

2−¹

6= ⁵

6 4. a)



P(M)= ²

12=¹

6 . b)



M : « au moins un des bonbons a le goût de fruit » c) 𝑃(𝑀̅) = 1 − 𝑃(𝑀) = 1 −¹

6= ⁵

6.

Exercice 3

1. b) Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐷𝐶 est donc un parallélogramme.

2. b) 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ .

c) On peut donc en déduire que le quadrilatère 𝐷𝐶𝐽𝐴 est un parallélogramme.

Exercice 4 1. Figure

3. a) Par lecture graphique, le milieu de [BD] est ^E

 

^{2; 2} . b) Par le calcul, on obtient 7 3 6 2

 

; 2; 2

2 2

E     E

  .

c) 2 2 4

2 3 1

AE   AE 

    

    et 5 2 7

4 3 7

AC   AC 

    

   . ^{x y}_{AE AC}^x_AC^y_AE            ⁴

 

^{7 7}

 

^{1 28 7 21 0}.

D’après le critère de colinéarité, les vecteurs AE et AC ne sont pas colinéaires.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

0 1 1

x y

A

B

C D

E

M

2. a) 3 2 1

2 3 5

AD   AD 

    

   

5 7 2

4 6 10

BC   BC 

    

   

b) On a BC2AD.

Par conséquent AD et BC sont colinéaires.

c) On en déduit que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Donc ABCD est un trapèze.

Donc les points A, E et C ne sont pas alignés.

4. ABMD est un parallélogramme si et seulement si BM AD.

On a 7

6

M M

BM x y

  

  

 . Donc 7 1 6

6 5 1

M M

M M

x x

BM AD

y y

   

 

       On obtient ^M

 

^{6;1 .}

Exercice 5

La fonction bénéfice B est définie sur



^0;50



^{par B x}

 

^{ 2x2120x1600.}

1. B est une fonction polynôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole.

2. Pour 10 litres vendus,B

 

¹⁰   ^{2 102}120 10 1600   600 centaines d’euros . Puisque ^B

 

^{10 0} , ce n’est pas rentable de vendre 10 litres de boisson.

3. a) ^{B x}

 

^{ax2bx c} avec a 2 ; b120 et c 1600.

Puisque a0 , la fonction B admet son maximum lorsque ^{x 2ba 2 120}

 

^{2 30}

b) Pour réaliser un bénéfice maximal, il faut vendre 30 litres de boisson.

Le bénéfice maximal est ^B

 

^{30 200} centaines d’euros , c'est-à-dire 20 000 €.

4. a)



^{40 2 x}



^x40



^{40x1600 2 x280x 2x2120x1600B x}

 

. Donc ^{B x}

  

^{ 40 2 x}



^x40



.

b) ^{B x}

 

^{ 0 40 2 x0 ou x40    0 2x 40 ou x40 x 20 ou x40.}

L’ensemble des solutions de l’équation B x

 

0 est S



20; 40



. 5. a) Tableau de signe de ^{B x}

 

^.

b) L’ensemble des solutions de l’inéquation ^{B x}

 

^{0 est S }



^{20; 40}



. (Non exigé)

Pour réaliser un bénéfice positif, il faut donc vendre entre 20 litres et 40 litres de boisson.

Exercice 6

1. Pour 7 matchs : avec la formule 1, le coût est de 250 10 7 320€   . avec la formule 2, le coût est de 300 5 7 335€   . La formule 1 est alors plus intéressante.

Pour 12 matchs : avec la formule 1, le coût est de 250 10 12 370€   . avec la formule 2, le coût est de 300 5 12 360€   . La formule 2 est alors plus intéressante.

2. Avec la formule 1, le coût est de 250 10N . Avec la formule 2, le coût est de 300 5 N.

x 0 30 50

B 200

-1600 -600

x 0 20 40 50

40 2x + 0 – –

40 x – – 0 +

 

B x – 0 + 0 –

3. Algorithme.

4. a) On pose l’inéquation 300 5 N250 10 N b) 300 5 N 250 10 N  5N   50 N 10.

La formule 2 devient plus intéressante lorsqu’on assiste à plus de 10 matchs.

Variables : N, A, B entiers Entrée : Saisir 𝑁

𝐴 prend la valeur 250 10 N 𝐵 prend la valeur 300 5 N Traitement :

Si AB Alors

Afficher « La formule la plus intéressante est la formule 1 » Sinon

Afficher « La formule la plus intéressante est la formule 2 » FinSi