DEVOIR A LA MAISON N°3 2 nde 1.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

Pour le mercredi 20 novembre 2010.

Travailler sérieusement ce DM sera utile pour le DS (et pour l an prochain). Les élèves ayant pour l instant une moyenne supérieure à 13 en mathématiques doivent traiter le

sujet B. Les autres peuvent choisir leur sujet.

SUJET A

POUR MAITRISER LES BASES

I. Dans un repère orthonormal, on donne A(− 1 ; 0), B(2 ; 1), C(− 2 ; 3) et D (1 4).

1. En utilisant des milieux, montrer que ABDC est un parallélogramme (voir exemple dans le cours).

2. Montrer que le triangle ABD est isocèle et rectangle (voir exemple dans le cours). Quelle est alors la nature du quadrilatère ABDC ?

II. Dans un repère orthonormal, on donne A (5 3), B(3 2 ) et C (0 5).

1. Déterminer les coordonnées du milieu I de [ AC ].

2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ADCB soit un parallélogramme (voir exemple dans le cours).

3. Le point C est-il un point du cercle de centre A et de rayon 5,39 ? 4. Le point E(1 0) appartient-il à la médiatrice du segment [ AC ] ? III. Expliquer pourquoi 50 8 2 32 11 2 .

SUJET B

POUR APPROFONDIR

I. Dans un repère orthonormé d’origine O, on donne les points A( 2 3), B (2 1 ), et C ( 1 4 ).

1. Tracer l e cercl e ci rcons cri t au t ri angle ABC . Quel s em ble être son centre ? 2. Prouver l a conj ecture précédente.

II. Dans un repère ort honorm al , on donne l es points A (2 4 ) et B (7 1).

Soit la médiatrice du segment [ AB ].

1. Le point C(6 5) appartient-il à ?

2. Déterminer les coordonnées du point E, symétrique de A par rapport à B.

3. On cherche à déterminer les coordonnées du point d intersection D de et de l axe des abscisses.

D a pour ordonnée 0 donc D ( ^x

^D

^{0 .} )

a. Calculer, en fonction de x

_D

les longueurs AD et BD.

b. En déduire x

D

et conclure.

III. Dans la figure à main levée ci-contre : - RTCE est un carré

- A est le symétrique de R par rapport à T

- R, E , Q et B sont alignés dans cet ordre avec BQ QE 5 8 RE 1. Quelle est la nature du repère (R T E) ?

2. En vous plaçant dans ce repère, déterminer si les points A , B et C sont alignés (voir ex fait en classe pour déterminer si des points sont alignés).

IV. Simplifier 3 27 2 75 5 48 .

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

SUJET A

POUR MAITRISER LES BASES

I. Dans un repère orthonormal, on donne A(− 1 ; 0), B(2 ; 1), C(− 2 ; 3) et D (1 4).

1. Les diagonales de ABDC sont [AD ] et [ BC ]. Il faut faire attention à qui sont les diagonales en faisant un petit schéma !!

Soit I le milieu de [ AD] et J le milieu de [ BC ].

x

I

x

A

x

D

2 1 1

2 0 et y

I

y

A

y

D

2 0 4

2 2 donc I (0 2) De même x

J

2 2

2 0 et y

J

1 3

2 2 donc J(0 2)

I et J ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus : [ AD ] et [ BC ] ont le même milieu donc ABDC est un parallélogramme.

2. AB (2 ( 1))

²

(1 0)

²

10 ; AD ( ^{1 ( 1)}

²

) ^{(4 0)}

²

²⁰ ^et

BD (1 2 )

²

(4 1)

²

10 .

Bien choi sir l es bon s s egmen ts et n e pas calcul er trois longu eur s au hasard !!

AB BD donc ABD est isocèle en B.

D une part, AB ² BD² 10

²

10

²

10 10 2 0

D autre part AD ² 20

²

20 Alors le triangle ABD est rectangle en B Le triangle ABD est donc isocèle rectangle en B.

Le parallélogramme ABCD a un angle droit donc c est un rectangle. Il a de plus deux côtés consécutifs (AB et BD) de même longueur donc c est un carré.

Si vous êtes arrivés ici, bravo. Le 1er qui m enverra un mail aura +0,5 au prochain devoir II. Dans un repère orthonormal, on donne A (5 3), B(3 2 ) et C (0 5).

1. x

I

5 0

2 5 2 et y

I

3 5

2 4 donc I

 

  5 2 4 .

2. ADCB est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [AC ] et [ BD] ont le même milieu.

Ainsi , ADBC est un parallélogramme ssi I est le milieu de [ BD]

ssi x

_I

x

B

x

D

2 et y

_I

y

B

y

D

2 ssi 5

2 3 x

_D

2 et 4 2 y

_D

2 ssi 5 3 x

D

et 8 2 y

D

ssi 2 x

D

et 6 y

D

Ainsi, D(2 6).

3. AC (0 5)

²

(5 3)

²

29  5,39 donc C n est pas un point du cercle de centre A et de rayon 5,39.

Même si 29 5,39, ce n est pas exactement égal !!!!!

4. AE (1 5)

²

(0 3)

²

25 5 et CE (1 0)

²

(0 5)

²

26 . AE  CE donc E n appartient pas à la médiatrice du segment [ AC].

III. 50 8 2 32 25 2 4 2 2 16 2 25 2 4 2 2 16 2

5 2 2 2 2 4 2 5 2 2 2 8 2 11 2

Si vous êtes arrivés ici, bravo ! Le 1er qui m enverra un mail aura +0,5 au prochain devoir

(3)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

SUJET B

POUR APPROFONDIR

I. 1. Le cent re du cercl e s embl e êt re l e mil ieu du s egm ent [ AB ].

2. Méthode 1 : On calcule l es l ongueurs des côtés du t ri angle ABC ; on montre que ce triangle est rectangle grâce à la réciproque du th de Pythagore. Alors C est un point du cercle de diamètre [ AB ] : le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de centre I et de rayon AI.

Méthode 2 : On calcule les coordonnées de I : I(0 2).

IA (0 ( 2))

²

(2 3)

²

5 ; IB (2 0)

²

(2 1)

²

5 ; IC ( 1 0)

²

(4 2)

²

5 . IA IB IC 5 donc le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de centre I et de rayon 5 . II.

1. CA (2 6 )

²

(4 5 )

²

17 et CB (6 7)

²

(1 5)

²

17 . CA CB donc C appartient à .

2. E est le symétrique de A par rapport à B donc B est le milieu de [AE ].

Alors x

B

x

A

x

E

2 et y

B

y

A

y

E

2 donc 7 2 x

E

2 et 1 4 y

E

2 donc 12 x

E

et 2 y

E

Ainsi E(12 2).

3. On cherche à déterminer les coordonnées du point d intersection D de et de l axe des abscisses.

D a pour ordonnée 0 donc D ( ^x

^D

^{0 .} )

a. AD ( ^x

^D

² )

²

^{(0 4)}

²

( ^x

^D

² )

²

¹⁶ ^{et BD} ( ^x

^D

⁷ )

²

^{(0 1)}

²

( ^x

^D

⁷ )

²

¹ ^.

b. D appartient à donc AD BD

AD BD donc ( ^x

^D

² )

²

¹⁶ ( ^x

^D

⁷ )

²

¹

donc ( ^x

^D

² )

²

¹⁶ ( ^x

^D

⁷ )

²

¹

donc x

_D²

4x

_D

4 16 x

_D²

14 x

_D

49 1 donc 10 x

D

30 donc x

D

3 Ainsi D (3 0).

III. 1. RTCE est un carré donc les droites (RT ) et (RE ) sont perpendiculaires : le repère ( R T E) est orthogonal. De plus, RT RE donc ( R T E) est un repère orthonormal.

2. Dans le repère ( R T E) :

R (0 0) ; T(1 0) ; E (0 1) ; A(2 0) ; C (1 1) ; E

 

  0 1 ⁵

8 , soit E

 

  0 ¹³

8 et B  

  0 ¹⁸

8 .

Attenti on: B n a pas pou r coordonn ées (0 1 ) ou (0 2) !!

BC (0 1 )

²

 

  18

8 1

²

DEVOIR A LA MAISON N°3 2 nde 1.

DEVOIR A LA MAISON N°3 2 nde 1.

Pour le mercredi 20 novembre 2010.

Travailler sérieusement ce DM sera utile pour le DS (et pour l an prochain). Les élèves ayant pour l instant une moyenne supérieure à 13 en mathématiques doivent traiter le

sujet B. Les autres peuvent choisir leur sujet.

SUJET A

POUR MAITRISER LES BASES

I. Dans un repère orthonormal, on donne A(− 1 ; 0), B(2 ; 1), C(− 2 ; 3) et D (1 4).

1. En utilisant des milieux, montrer que ABDC est un parallélogramme (voir exemple dans le cours).

2. Montrer que le triangle ABD est isocèle et rectangle (voir exemple dans le cours). Quelle est alors la nature du quadrilatère ABDC ?

II. Dans un repère orthonormal, on donne A (5 3), B(3 2 ) et C (0 5).

1. Déterminer les coordonnées du milieu I de [ AC ].

2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ADCB soit un parallélogramme (voir exemple dans le cours).

3. Le point C est-il un point du cercle de centre A et de rayon 5,39 ? 4. Le point E(1 0) appartient-il à la médiatrice du segment [ AC ] ? III. Expliquer pourquoi 50 8 2 32 11 2 .

SUJET B

POUR APPROFONDIR

I. Dans un repère orthonormé d’origine O, on donne les points A( 2 3), B (2 1 ), et C ( 1 4 ).

1. Tracer l e cercl e ci rcons cri t au t ri angle ABC . Quel s em ble être son centre ? 2. Prouver l a conj ecture précédente.

II. Dans un repère ort honorm al , on donne l es points A (2 4 ) et B (7 1).

Soit la médiatrice du segment [ AB ].

1. Le point C(6 5) appartient-il à ?

2. Déterminer les coordonnées du point E, symétrique de A par rapport à B.

3. On cherche à déterminer les coordonnées du point d intersection D de et de l axe des abscisses.

D a pour ordonnée 0 donc D ( x

0 . )

a. Calculer, en fonction de x

les longueurs AD et BD.

b. En déduire x

et conclure.

III. Dans la figure à main levée ci-contre : - RTCE est un carré

- A est le symétrique de R par rapport à T

- R, E , Q et B sont alignés dans cet ordre avec BQ QE 5 8 RE 1. Quelle est la nature du repère (R T E) ?

2. En vous plaçant dans ce repère, déterminer si les points A , B et C sont alignés (voir ex fait en classe pour déterminer si des points sont alignés).

IV. Simplifier 3 27 2 75 5 48 .

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 nde 1.

SUJET A

POUR MAITRISER LES BASES

I. Dans un repère orthonormal, on donne A(− 1 ; 0), B(2 ; 1), C(− 2 ; 3) et D (1 4).

1. Les diagonales de ABDC sont [AD ] et [ BC ]. Il faut faire attention à qui sont les diagonales en faisant un petit schéma !!

Soit I le milieu de [ AD] et J le milieu de [ BC ].

x

x

x

2

1 1

2 0 et y

y

y

2

0 4

2 2 donc I (0 2) De même x

2 2

2 0 et y

1 3

2 2 donc J(0 2)

I et J ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus : [ AD ] et [ BC ] ont le même milieu donc ABDC est un parallélogramme.

2. AB (2 ( 1))

(1 0)

10 ; AD ( 1 ( 1)

) (4 0)

20 et

BD (1 2 )

(4 1)

10 .

Bien choi sir l es bon s s egmen ts et n e pas calcul er trois longu eur s au hasard !!

AB BD donc ABD est isocèle en B.

D une part, AB ² BD² 10

10

10 10 2 0

D autre part AD ² 20

20 Alors le triangle ABD est rectangle en B Le triangle ABD est donc isocèle rectangle en B.

Le parallélogramme ABCD a un angle droit donc c est un rectangle. Il a de plus deux côtés consécutifs (AB et BD) de même longueur donc c est un carré.

Si vous êtes arrivés ici, bravo. Le 1er qui m enverra un mail aura +0,5 au prochain devoir II. Dans un repère orthonormal, on donne A (5 3), B(3 2 ) et C (0 5).

1. x

5 0

2

5 2 et y

3 5

2 4 donc I

 

DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

D a pour ordonnée 0 donc D ( ^x

^{0 .} )

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

10 ; AD ( ^{1 ( 1)}

) ^{(4 0)}

²⁰ ^et

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 1.

D a pour ordonnée 0 donc D ( ^x

^{0 .} )

a. AD ( ^x

² )

^{(0 4)}

( ^x

² )