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Devoir Commun de Mathématiques
Janvier 2019
Classes de Terminale S (toute spécialité)
Durée 3 heures Calculatrice autorisée Aucun échange de matériel n’est autorisé
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Ce sujet comporte 4 pages y compris cette page de garde, numérotées de 1 à 4.
Page 2 sur 4 Exercice 1 (6 points)
On considère la fonction f définie sur ℝ par . Soit a un réel positif.
On définit la suite par et, pour tout entier naturel n : .
Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite lorsque n tend vers ∞, suivant différentes valeurs de son premier terme .
1. A l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite lorsque n tend vers ∞, pour 2,9 puis pour 3,1.
2. Dans cette question, a est un réel positif quelconque. On suppose que la suite converge vers un réel l.
a) En remarquant que , montrer que .
b) Montrer que les valeurs possibles de l sont 1 et 3.
3. Dans cette question, on prend 2,9.
a) Montrer que f est croissante sur l’intervalle [1 ; +∞[.
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 1 . c) Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
4. Dans cette question, on prend 3,1 et on admet que la suite est croissante et n’est pas majorée.
a) Justifier le comportement de la suite lorsque n tend vers +∞.
b) L’algorithme suivant permet de calculer le plus petit rang p pour lequel 10 . Recopier et compléter cet algorithme où p est un entier naturel et U un réel.
p ← 0 U ← … Tant que … p ← … U ← … Fin Tant que
Exercice 2 (4 points)
Pour chacune des trois affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
1. Le nombre complexe 1 est solution de l’équation : 3 3 0.
2. L’ensemble des solutions dans ℂ de l’équation 2 1
z z
z− =
− est l’ensemble vide.
3. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct , !", #" . Soit z un nombre complexe, on note $ où x et y sont des réels.
Pour tout complexe z différent de i, on pose : % &
&'(.
L’ensemble des points d’affixe z tels que Z soit un réel, est inclus dans une droite.
Page 3 sur 4 Exercice 3 (6 points)
Soit f la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par )
*+
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d’origine O.
Pour tout réel x positif ou nul, on note : M le point de coordonnées , P le point de coordonnées , 0 Q le point de coordonnées 0, .
Le but de l’exercice est de déterminer la valeur de x qui rend maximale l’aire du rectangle MPOQ.
Partie A
1. Exprimer l’aire du rectangle MPOQ en fonction de x.
2. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par , -. -. 1.
On admet que g est dérivable sur [0 ; +∞[.
a) Etudier les variations de g sur [0 ; +∞[.
b) Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation , 1.
c) Montrer que l’équation , 0 admet dans l’intervalle [1 ; 2] une seule solution que l’on notera α.
Donner un encadrement d’amplitude 10' de α.
d) Justifier, en s’aidant des questions précédentes que l’équation , 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0 ; +∞[.
e) Démontrer que -∝
∝' .
f) Déterminer le signe de g(x) sur [0 ; +∞[.
Partie B
1. Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par 0 ).
*+ .
Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, 0′ a le même signe que g(x).
En déduire les variations de la fonction A.
2. Montrer que l’aire maximale du rectangle MPOQ est égale à 4 α 1 .
3. On considère dans cette question le cas particulier où M a pour abscisse α. La tangente 3 en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite 45 ?
Page 4 sur 4 Exercice 4 (4 points)
Dans un pays imaginaire, la probabilité qu’un habitant transmette fidèlement une information reçue est de )
6 pendant que celle de dire exactement le contraire est de
6.
Un jour, une certaine information, vraie à l’origine, se répand de bouche à oreille parmi les habitants de ce pays.
Pour tout entier 7 8 1, on désigne par 9 l’événement : « l’information transmise par la nième personne est vraie » et on note : la probabilité de 9 .
On admet que : )
6 .
1. a) On illustre la transmission de l’information au stade des nième et n+1ième personnes, par l’arbre de probabilités donné ci-dessous.
Recopier et compléter cet arbre.
;< =
;<
;< =
>>>>>>
;< =
;<
>>>>
;< =
>>>>>>
b) Montrer que l’on a pour tout entier naturel 7 8 1 :
: 6:
6 .
2. On pose, pour tout entier naturel 7 8 1, : .
a) Montrer que la suite est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
b) Donner l’expression de puis de : en fonction de n.
c) Calculer lim
→C: et en donner l’interprétation.
