I.U.T. de Brest Ann´ee 2019-2020
G.M.P. 1 Devoir du 18/10/2019
Outils math´ematiques (M1301) Dur´ee : 1h
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut d’ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• La r´edaction entrera pour une part importante de la notation
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 ( ≃3 points). Les deux questions de cet exercice sont ind´ependantes.
1. R´esoudre sur R l’´equation x−1
5 −3x−2 2 = 1.
2. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctionf d´efinie par f(x) = 2x2−7x+ 6
√9−x2 .
Exercice 2 ( ≃11,5 points). On consid`ere f la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ par : f(x) = 2 lnx+ 1
x2 · 1. Calculer f′(x) pour tout x∈]0; +∞[.
2. a) D´eterminer la limite def(x) quand xtend vers 0+ (c’est-`a-dire quand xtend vers 0 avecx >0).
b) D´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞.
3. Dresser le tableau de variations de f sur ]0; +∞[. On pr´ecisera ´egalement les valeurs `a mettre au bout des fl`eches.
4. a) Calculer f′′(x) pour tout x∈]0; +∞[.
b) Sur quel(s) intervalle(s) contenu(s) dans ]0; +∞[ la fonction f est-elle convexe ?
Exercice 3 ( ≃5,5 points). On consid`ere sur l’intervalle [0;π] la fonction f d´efinie par : f(x) = 4 cos(3x)−9x2.
1. Calculer f′(x) et f′′(x) pour toutx∈[0;π].
2. Sur quel(s) intervalle(s) contenu(s) dans [0;π] la fonction f est-elle convexe ?
Fin du devoir
