I.U.T. de Brest Ann´ee 2018-2019
G.M.P. 1 Devoir du 21/11/2018
Outils math´ematiques (M1301) Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut d’ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 ( ≃1,5 points). D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction f d´efinie par : f(x) = 1 + 3 sinx
1−3 cosx ·
Exercice 2 ( ≃5,5 points). On consid`ere f la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ par : f(x) = 2 lnx−5
x2 · 1. Calculer f′(x) pour tout x∈]0; +∞[.
2. a) D´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0+. b) D´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞.
3. Dresser le tableau de variations de f sur ]0; +∞[. On pr´ecisera ´egalement les valeurs `a mettre au bout des fl`eches.
Exercice 3 ( ≃3,5 points). On consid`ere sur l’intervalle [0;π2] la fonction f d´efinie par : f(x) = 4 sin(3x) + 9x2.
1. Calculer f′(x) et f′′(x) pour toutx∈[0;π2].
2. Sur quel(s) intervalle(s) contenu(s) dans [0;π2] la fonction f est-elle convexe ?
Exercice 4 (≃3,5 points). Ranger dans l’ordre croissant les trois nombres suivants : arccos4
5 ; arcsin4
5 ; arctan
√3
6 ·
Exercice 5 (≃6 points). Les trois questions de cet exercice sont ind´ependantes. Pour chaque question, on ´ecrira les r´esultats sous la forme d’une fraction irr´eductible.
1. On d´efinit α= arcsin3
7. Calculer cos (2α).
2. On d´efinit β = arccos3
4. Calculer cos (2β) puis cos (3β).
3. On d´efinit θ = arccos1
9. Calculer sin
θ
2
.
Fin du devoir
