I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-2021
G.M.P. 1 Devoir du 14/10/2020
Outils math´ematiques (M1301) Dur´ee : 1h
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut d’ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• La r´edaction entrera pour une part importante de la notation
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 ( ≃2 points).On consid`ere dans un rep`ere orthonormal du plan les deux pointsA etB dont les coordonn´ees sont :
A(−5; 7) et B(−9; 8). D´eterminer une ´equation de la droite (AB).
Exercice 2 ( ≃12,5 points). On consid`ere f la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ par : f(x) = (2−lnx) lnx.
On note Cf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthogonal du plan.
1. Calculer f′(x) pour tout x ∈]0; +∞[. On ´ecrira f′(x) sous la forme f′(x) = g(x)
x o`u g est une fonction `a d´eterminer.
2. a) D´eterminer la limite def(x) quand xtend vers 0+ (c’est-`a-dire quand xtend vers 0 avecx >0).
b) D´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞.
3. Dresser le tableau de variations def sur ]0; +∞[ (en pr´ecisant ´egalement les valeurs aux extr´emit´es de chaque fl`eche).
4. D´eterminer l’´equation de la tangente `aCf au point d’abscisse 1.
5. a) Calculer f′′(x) pour tout x∈]0; +∞[.
b) Sur quel(s) intervalle(s) contenu(s) dans ]0; +∞[ la fonction f est-elle convexe ?
6. D´eterminer les coordonn´ees des ´eventuels points d’intersection de la courbe Cf et de l’axe des abscisses.
Exercice 3 ( ≃5,5 points). On consid`ere la fonction f d´efinie par :
f(x) = 2 sinx−4 cos(3x) 1 + sinx
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctionf. 2. R´esoudre sur l’intervalle [0;π] l’in´equation f(x)<2.
Fin du devoir
