I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-2021
G.M.P. 1 Devoir du 25/11/2020
Outils math´ematiques (M1301) Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut d’ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• La r´edaction entrera pour une part importante de la notation
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 (≃5 points). On consid`ere f la fonction d´efinie par :
f(x) =−x
2 + 3 lnx.
On note Cf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthogonal du plan.
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctionf. On le notera Df. 2. Calculer f′(x) pour tout r´eel x∈Df.
3. D´eterminer les limites de la fonction f aux bornes de Df.
4. Dresser le tableau de variations de f sur Df. On d´eterminera ´egalement les valeurs `a mettre au bout des fl`eches.
5. D´eterminer l’´equation de la tangente `aCf au point d’abscisse 1.
Exercice 2 (≃4 points). On consid`ere f la fonction d´efinie sur R par : f(x) = (3x−1) e−2x.
1. Calculer, puis factoriser, f′(x) et f′′(x) pour tout r´eelx.
2. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle convexe ?
Exercice 3 (≃3 points). Calculer
α = arccos
cos 22π 7
; β = arcsin
sin22π 7
et γ = arctan
tan22π 7
.
Consignes pour cet exercice 3 :
• On ´ecrira chaque r´esultat sous la forme kπn avec k et n des entiers tels que la fraction kn soit irr´eductible.
• Chacun des trois calculs sera illustr´e par un dessin de cercle trigonom´etrique annot´e.
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Exercice 4 (≃4 points). On d´efinitα = arcsin
4
5
.
Dans cet exercice, on ´ecrira chaque r´esultat sous la forme d’une fraction irr´eductible.
1. Calculer les nombres cos (α) et sin (2α).
2. a) D´emontrer que le nombre tan (2α) est bien d´efini.
b) Calculer le nombre tan (2α).
Exercice 5 (≃4 points). On d´efinitβ = arctan 3√
7 .
1. Calculer cos (β) en donnant le r´esultat sous la forme d’une fraction irr´eductible.
2. Calculer sin
β
2
.
Fin du devoir
