Un corrigé des épreuves communes de mathématiques

Un corrigé des épreuves communes de mathématiques

Coefficient: 2 1h 50min

Calculatrice autorisée lundi 26 mai 2014

.Exercice 1 (3points) :

Dans caque cas, calculer sous forme fractionnaire en détaillant les étapes. Simplifier le résultat, si possible.

A= µ1

5− 8 15

¶

×5 4 A=

µ 3 15− 8

15

¶

×5 4 A=−5

15 ×5 4 A=−1

3 ×5 4 A=−5

12 (1,5 pts)

B=−4 7 : 5

14+5 6 B=−4

7 ×7×2 5 +5

6 B=−8

5 +5 6 B=−48

30 +25 30 B=−23

30 (1,5 pts)

.Exercice 2 (3points) :

On donneC=3×10⁴×5×10²

24×(10³)³ etD=5, 5×10²+7×10³. C=3×10⁴×5×10²

24×(10³)³ C=3×5×10⁴⁺²

3×8×10^3×3 C=5

8×10⁶ 10⁹ C=5

8×10⁶⁻⁹ C=5

8×10⁻³ C=0, 625×10⁻³ C=6, 25×10⁻¹×10⁻³ C=6, 25×10⁻¹⁻³

C=6, 25×10⁻⁴ (2 pts)

D=5, 5×10²+7×10³ D=550+7 000 D=7 550

D=7, 55×10³ (1 pt)

.Exercice 3 (2, 5points) :

E=(4+2)²: 9 E=6²: 9 E=36 : 9

E=4 (1 pt)

F=(5²−3×7)² 10−2³ F=(25−21)²

10−8 F=4²

2 F=16

2

F=8 (1,5 pt)

.Exercice 4 (4, 5points) : Développer et réduire chaque expression :

G=2−(x−3)+4(x−1) G=2−x+3+4x−4 G=3x+1 (1,5 pt)

H=t(t+2)−t(t−1)+1 H=t²+2t−t²+t+1 H=3t+1 (1,5 pt)

I=(6x−12)(5x−1 3) I=30x²−2x×3×1

3−12×5x+4×3×1 3 I=30x²−2x−60x+4

I=30x²−62x+4 (1,5 pt)

.Exercice 5 (3, 5points) :

1Ï Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 10. NotonsN le résultat obtenu : Avec 10 au départ :

N=(2(10²+3)−6) : 2 N=(2(100+3)−6) : 2 N=(2×103−6) : 2 N=(206−6) : 2 N=200 : 2

N=100 (1 pt)

2Ï a) Vérifier le calcul en commençant le programme avec le nombre 9.

Avec 9 au départ : N=(2(9²+3)−6) : 2 N=(2(81+3)−6) : 2 N=(2×84−6) : 2 N=(168−6) : 2 N=162 : 2

N=81 (1 pt)

b) Et si le résultat du programme était 36, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ? Il faudrait alors choisir6comme nombre de départ. (0,5 pt)

3Ï A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ? Démontrer votre réponse en prenantxcomme nombre de départ.

Avecxau départ : N=(2(x²+3)−6) : 2 N=(2(x²+3)−6) : 2 N=(2x²+6−6) : 2 N=2x²: 2

N=x² (1 pt)

.Exercice 6 (3points) :

A l’occasion d’une action humanitaire, élèves et adultes d’un collège participent à une course d’endurance. Ce tableau indique les distances parcourues par les élèves.

Distance (en km) 1 2 3 4 5 6

Effectif 41 126 181 219 91 27

1Ï Calculer la distance moyenne parcourue par élève. On va diviser le nombre de km parcourus par le nombre d’élèves.

On calcule d’abord le nombre d’élèvesNparticipant à cette course :N=41+126+181+219+91+27=685.

d¯=41×1+126×2+181×3+219×4+91×5+27×6

41+126+181+219+91+27 =3, 4 km

La distance moyenne parcourue par les élèves est de3, 4 km (1,5 pt)

2Ï Sachant que les 685 élèves ont parcouru en moyenne 3, 4 km, et que les 70 adultes ont parcouru en moyenne 5, 3 km, on calcule la distance moyenne ¯Deffectuée par l’ensemble de l’établissement. Il s’agit d’une moyenne pondérée par les effectifs :

D¯=685×3, 4+70×5, 3

685+70 =2 700

755 =3, 6 km à 10⁻¹près.

La distance moyenne effectuée par l’ensemble de l’établissement est de3, 6 km à 100 m près. (1,5 pt)

.Exercice 7 (4, 5points) :

On cherche la distanceABsur la figure ci-contre, sachant que [AC] est un diamètre du cercle.

A

B

C 3 m

31^◦

Le triangleABCétant inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son côté [AC], il est donc rectangle enB (et [AC] est alors son hypoténuse).

Maintenant que nous savons que le triangleABCrectangle enB, on peut écrire : cos(B AC) =AB

AC, on en déduit alors queAB=AC×cos(B AC)=3×cos(31)=2, 57 m au cm près.

.Exercice 8 (5points) :

$Les indications de la figure sont justes, mais celle-ci n’est pas représentée en vraie grandeur.

Il n’est pas demandé de la reproduire.

Sur la figure ci-contre, les triangles CBD et CBA sont respectivement rectangles enDetB.

On donneB D=4 cm ;B A=6 cm etDBC =60°.

B C

D

A

4 cm

6 cm 10 cm

60^◦

1Ï Dans le triangleB DCrectangle enD, on peut écrire : cos(DBC)=DB

BC, on en déduit alors queBC= DB

cos(DBC)= 4

cos(60)=8 cm.

2Ï Dans le triangleABCrectangle enB, on peut écrire : cos(B AC)= AB

AC = 6 10=0, 6.

A la calculatrice, on en déduit queB AC =53°.

.Exercice 9 (7points) :

1Ï Figure :

H G

F

2Ï F G Hest un triangle rectangle enHtel que :H F=25 mm etHG=60 mm.Iest le milieu de [F G].

Calculer la longueurH I. Justifier.

F G Hest un triangle rectangle enH, donc d’après le théorème de Pythagore, on a : F G²=H F²+HG²=25²+60²=625+3600=4 225.

Ainsi,F G=p

4 225=65 mm.

3Ï CommeF G Hest un triangle rectangle enH, la longueur de la médiane relative à son hypoténuseH I est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse :

H I=F G 2 =65

2 =32, 5 mm.