Devoir de février 2020 et son corrigé (Courbes)

I.U.T. de Brest Ann´ee 2019-20

G.M.P. 2. Corrig´e du devoir du 20/02/2020

Courbes param´etr´ees (M4301) Dur´ee : 1h30

Exercice 1 (≃12 points). On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie pour tout t ∈ Rpar :







x(t) = t(t²−3) y(t) = (t−3) e^t

1. a) On d´erive x(t) et y(t) comme des produits. Cela donne

x^′(t) = 1×(t²−3) +t×(2t) = 3t²−3 = 3(t²−1) = 3(t−1)(t+ 1) y^′(t) = 1×e^t+(t−3)×e^t= (t−2) e^t . b) Limite de x(t) quand t tend vers +∞ : on a lim

t→+∞

t = +∞ et lim

t→+∞(t² −3) = +∞; donc par produit, lim

t→+∞

x(t) = +∞.

Limite de y(t) quandttend vers +∞: on a lim

t→+∞(t−3) = +∞et lim

t→+∞e^t= +∞; donc par produit,

t→lim+∞y(t) = +∞.

c) Limite de x(t) quand t tend vers −∞ : on a lim

t→−∞

t = −∞ et lim

t→−∞(t² −3) = +∞; donc par produit, lim

t→−∞x(t) =−∞.

Limite de y(t) quand t tend vers −∞ : a priori, on a une forme ind´etermin´ee du type ^≪∞ ×0^≫. Mais y(t) =

1−3

t

te^t. Or, en posant u =−t, on a lim

t→−∞

te^t = lim

u→+∞(−ue^−u) = lim

u→+∞

−u e^u = 0 par croissances compar´ees. De plus lim

t→−∞

1− 3

t

= 1−0 = 1. Donc par produit, lim

t→−∞y(t) = 0.

d) Signe de x^′(t) surR : x^′(t) <0 si et seulement si t²−1 <0, ssi −1 < t < 1, car le trinˆome du second degr´e t²−1 est du signe de −a=−1 `a l’int´erieur de ses racines −1 et 1.

Attention ! On ne se contente pas de r´esoudrex^′(t) = 0 mais on doit r´esoudrex^′(t)>0 pour justifier pourquoi on met un + ou un − dans le tableau de variations. Idem pour y(^′(t) ci-dessous...

Signe dey^′(t) sur R: on sait que e^t>0 pour tout r´eelt. Doncy^′(t)>0 si et seulement sit−2>0, ssi t >2.

D’o`u le tableau de variations :

t −∞ −1 1 2 +∞

x^′(t) + 0 − 0 + +

x −∞ % 2

& −2 % 2 % +∞

y

0 & −4 e⁻¹

& −2 e

& −e²

%

+∞

y^′(t) − − − 0 +

2. a) M(0) a pour coordonn´ees cart´esiennes (0;−3).

On a :

d−−→OM

dt (0) =x^′(0)~ı+y^′(0)~=−3~ı−2~6=~0. On peut donc dire que la tangente en M(0) est dirig´ee par ce vecteur.

Attention ! Il est essentiel de pr´eciser d’abord que ce vecteur est 6=~0 pour ˆetre sˆur qu’il dirige la tangente.

b) M(−1) a pour coordonn´ees cart´esiennes (2;−4 e⁻¹).

Tangente en M(−1) : d−−→OM

dt (−1) =x^′(−1)~ı+y^′(−1)~= 0~ı−3 e⁻¹~=−3 e⁻¹~6=~0.

On peut donc dire que la tangente en M(−1) est dirig´ee par ce vecteur, ce qui veut dire que la tangente est verticale.

M(1) a pour coordonn´ees cart´esiennes (−2;−2 e).

Tangente en M(1) :

d−−→

OM

dt (1) =x^′(1)~ı+y^′(1)~= 0~ı−e~=−e~6=~0.

On peut donc dire que la tangente en M(1) est dirig´ee par ce vecteur, ce qui veut dire que la tangente est verticale.

M(2) a pour coordonn´ees cart´esiennes (2;−e²).

Tangente en M(2) :

d−−→

OM

dt (2) =x^′(2)~ı+y^′(2)~= 9~ı+ 0~= 9~ı6=~0.

On peut donc dire que la tangente en M(2) est dirig´ee par ce vecteur, ce qui veut dire que la tangente est horizontale.

3. D’apr`es le tableau de variations, nous avons deux branches infinies `a ´etudier :

• lorsque t tend vers −∞ : compte tenu des limites trouv´ees `a la question 1.c. on peut affirmer directement que la courbe admet l’axe des abscisses (d’´equation y= 0) pour asymptote horizontale.

• lorsque ttend vers +∞: compte tenu des limites trouv´ees `a la question 1.b, nous devons calculer

t→lim+∞

y(t)

x(t) = lim

t→+∞

(t−3) e^t t(t²−3). Or

(t−3) e^t

t(t²−3) = 1− ³t

te^t t³ 1− t³2

= 1− ³t

1− t³2

× e^t t² On a

t→lim+∞

1− ³t

1− t³2

= 1 1 = 1 et, par croissances compar´ees,

t→lim+∞

e^t

t² = +∞.

D’o`u, par produit,

t→lim+∞

y(t)

x(t) = +∞.

Par cons´equent, la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy) lorsquettend vers +∞. 4. Points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox) : il s’agit des points M(t) v´erifiant y(t) = 0, c’est-`a-dire (t−3) e^t = 0. Comme e^t est toujours strictement positif, donc toujours diff´erent de z´ero, on en d´eduit que t = 3. Alors la courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’en un seul point : il s’agit du point M(3), qui a pour coordonn´ees cart´esiennes (18; 0).

5. Trac´e de la courbe : on commence par placer les points vus aux questions pr´ec´edentes, ainsi que les vecteurs donnant la direction de leur tangente, puis on respecte le tableau de variations et les branches infinies.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−2

−4

−2

−4

−6

−8

−10 2 4 6

0

M(0)

M(1)

M(−1)

M(2)

M(3)

Tournez la page SVP −→

Exercice 2 (≃8 points). On consid`ere la courbe d´efinie en polaires par r(θ) = 1 + sin

θ 2

pour tout r´eel θ.

1. a) r(θ+ 4π) = 1 + sin

θ+ 4π 2

= 1 + sin θ

2 + 2π

.

Or la fonction sinus est 2π-p´eriodique : sin(x+ 2π) = sinx pour tout r´eel x.

Donc r(θ+ 4π) = 1 + sin θ

2

=r(θ).

Ainsi, en faisant un dessin (comme en TD), on constate que les points M(θ + 4π) et M(θ) sont confondus. En effet, −−−→uθ+4π =−→uθ puisque θ + 4π et θ sont repr´esent´es par le mˆeme angle ; de plus, r(θ+ 4π) = r(θ).

b) r(2π−θ) = 1 + sin

2π−θ 2

= 1 + sin

π− θ 2

.

Or on sait que sin(π−x) = sinx pour tout r´eelx (dessiner le cercle trigo si besoin).

Donc r(2π−θ) = 1 + sin θ

2

=r(θ).

Ainsi, en faisant un dessin (comme en TD), on constate que le point M(2π−θ) est le sym´etrique du point M(θ) par rapport `a l’axe des abscisses. En effet, −−−→u2π−θ = −→u₋θ puisque 2π−θ et −θ sont repr´esent´es par le mˆeme angle ; de plus, r(2π−θ) =r(θ).

Attention ! Icir(2π−θ) =r(θ) maisM(2π−θ)6=M(θ). Il est donc important de bien distinguer les deux et d’´ecrire un M qui ressemble `a un M, et un r qui ressemble `a un r (avis `a ceux qui ´ecrivent comme des cochons...)

c) D’apr`es a) on sait que M(θ+ 4π) = M(θ) ; on peut donc ´etudier la courbe sur un intervalle de longueur 4π. On choisit l’intervalle [−π; 3π].

Maintenant si θ ∈[−π;π], on a −π 6θ6π; donc −π 6−θ 6π;

donc 2π−π 62π−θ 62π+π;

d’o`uπ 62π−θ 63π, c’est-`a-dire 2π−θ ∈[π; 3π].

Donc d’apr`es b), si on sait placer tous les points M(θ) avec θ ∈[−π;π], on saura aussi placer tous les points M(2π −θ) avec 2π−θ ∈ [π; 3π], ces derniers points pouvant ´evidemment ˆetre d´ecrits comme tous les points M(θ) avec θ∈[π; 3π].

Autrement dit, `a partir de tous les points M(θ) avec θ ∈[−π;π], on r´ecup`ere tous les points M(θ) avec θ∈[−π; 3π]. Cela signifie bien qu’on peut r´eduire l’´etude `a [−π;π].

2. • D´eriv´ee. Ici r(θ) = 1 + sin(g(θ)) avec g(θ) = θ 2. Donc r^′(θ) = 0 +g^′(θ))×cos(g(θ)) = 1

2 ×cos θ

2

. D’o`u

r^′(θ) = 1 2cos

θ 2

.

• Tableau de variations.

Attention ! Pour dresser le tableau de variations de la fonction r, on ne fait pas le tableau en ba- lan¸cant un + pour le signe de r^′(θ) comme si tout le monde savait bien que c’est un +... Il faut

´evidemment le justifier ! ! ! Pour cela, on ne se contente pas, l`a encore, de r´esoudre r^′(θ) = 0.

On sait que, pour tout θ ∈ [−π;π], on a θ 2 ∈ h

−π 2;π

2 i

; comme cost > 0 pour tout t ∈ h

−π 2;π

2 i

(faire un dessin de cercle trigo pour s’en convaincre), on en d´eduit que cos θ

2

> 0 pour tout θ ∈[−π;π]. D’o`u le tableau de variations suivant :

θ −π π

r^′(θ) 0 + 0

r 0 % 2

3. a) M(0) a pour coordonn´ees polaires (r;θ) = (1; 0).

On rappelle que

d−−→

OM

dθ (θ) =r^′(θ)−→uθ+r(θ)−→vθ,

et que si ce vecteur est non nul, il dirige la tangente `a la courbe au point M(θ).

Tangente au point M(0) : comme r^′(0) = ¹₂cos (0) = ¹₂ etr(0) = 1 + sin (0) = 1, on a d−−→

OM

dθ (0) = 1

2 −→u0+−→v0 6=~0, et la tangente est donc dirig´ee par ce vecteur.

b) Mπ 2

a pour coordonn´ees polaires (r;θ) = 1 +

√2 2 ;π

2

! . Tangente au point Mπ

2

: Comme r^{′ π}₂

= ¹₂cos ^π₄

= ¹₂ × ^√2² et r ^π₂

= 1 + sin ^π₄

= 1 + ^√₂² = ²⁺₂^√2, on a d−−→OM

dθ π

2

= 1 2×

√2 2 −u→^π

2 +2 +√

2 2 −v→^π

2 = 1

2 ×

√2 2 −u→^π

2 + (2 +√ 2)−v→^π

2

!

6

=~0,

et la tangente est donc dirig´ee par le vecteur

√2 2 −u→^π

2 + (2 +√ 2)−v→^π

2. 4. M

−π 2

a pour coordonn´ees polaires (r;θ) = 1−

√2 2 ;−π

2

! . 5. Voir trac´e de la courbe sur la page suivante...

La partie rouge correspond aux points M(θ) avec θ d´ecrivant [−π;π].

La partie bleue a ´et´e obtenue par sym´etrie de la partie rouge par rapport `a l’axe (Ox).

Les vecteurs dessin´es (ceux donnant les directions des tangentes) ne sont pas forc´ement les vecteurs trouv´es `a la question 3 ; en effet, seule la direction a de l’importance pour le trac´e, et la norme n’a pas ´et´e respect´ee.

Par ailleurs, d’apr`es l’´enonc´e, dans le rep`ere (O,~ı, ~), la tangente au point M(−π) est horizontale, et la tangente au point M(π) est verticale.

Remarque (compte tenu de ce que j’ai vu sur les copies). Une fois qu’on a plac´e les points et leur tangente correspondante, il faut ´evidemment tracer, tout en respectant le tableau de variations, une

courbe qui part de M(−π), qui va vers M

−π 2

, puis vers M(0), puis vers Mπ 2

et termine en M(π). Ainsi on obtient la partie rouge de la courbe.

1 2

−1

−2

−1

−2 1 2

M(0) M(−π)

M(π)

M

−π 2

Mπ

2

Fin du corrig´e.