Exercices complémentaires Vecteurs
Exercice 1.
ABCD est un parallélogramme.
E est le point tel que ⃗AE = 1 3 ⃗AC . I est le milieu de [AB].
J est celui de [DC].
On considère le repère (A , B , D ) (ou (A ; ⃗AB , ⃗AD )).
1. Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
2. a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère.
b) Calculer les coordonnées des points E, I et J.
3. Démontrer que les points E, I et D sont alignés.
4. a) Trouver une équation cartésienne de la droite (BJ).
b) Montrer que les droites (BJ) et (ID) sont parallèles.
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC).
6. a) Soit F le point d'intersection des droites (BJ) et (AC). Déterminer les coordonnées de F.
b) Prouver que F est le milieu de [EC].
Exercice 2.
Placer les points A(- 2 ; 4), B( 2 ; 2 ), C(- 5 ; 0) et le point D tel que ⃗CD = 2 ⃗AB . (On considère le repère (A , B , D ) (ou (A ; ⃗AB , ⃗AD ).
1. a) Quelles est la nature du quadrilatère ABCD ? b) Déterminer les coordonnées de D.
2. a) Soit d la droite d'équation 6x + y – 14 = 0. Vérifier que B et D appartiennent à d.
b) Trouver une équation cartésienne de la droite (AC).
c) prouver que (BD) et (AC) sont sécantes.
d) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection E.
3. a) Calculer les coordonnées de K, milieu de [AB] et de L, milieu de [CD].
b) Démontrer que les points E, K et L sont alignés.
4. a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites (AD) et (BC), puis les coordonnées de leur point d'intersection F.
b) Montrer que E, F, K et L sont alignés.
A B
D C
Exercice 3.
Construire un triangle ABC, puis les points D, E et F tels que :
⃗AD = 1
2 ⃗AC , ⃗AE = 1
3 ⃗AB et ⃗BF = 2 ⃗BC .
Le but de l'exercice est de démontrer par trois méthodes différentes que D, E et F sont alignés.
1. Solution analytique dans le repère (A ; ⃗AB , ⃗AC ).
a) Déterminer les coordonnées de D, E et F.
b) Démontrer que D, E et F sont alignés.
2. Solution vectorielle.
a) Décomposer ⃗DE et ⃗DF sur ⃗AB et ⃗AC . b) Démontrer que D, E et F sont alignés.
3. Solution géométrique.
La parallèle à (DE) passant par C coupe [AB] en un point I.
a) Démontrer que E est le milieu de [AI].
b) En déduire que I est le milieu de [EB].
c) Démontrer alors que la droite (CI) est parallèle à la droite (FE). Conclure.
Exercice 4.
ABC est un triangle. Les points K, L et M sont tels que :
⃗AK = - 3
2 ⃗AC , ⃗AL = 3
4 ⃗AB et ⃗BM = 1 6 ⃗BC . 1. Solution analytique dans le repère (A ; ⃗AB , ⃗AC ).
a) Déterminer les coordonnées de K, L et M.
b) Démontrer que K, L et M sont alignés.
2. Solution vectorielle (sans repère).
a) Décomposer ⃗KL sur les vecteurs ⃗AB et ⃗AC . b) Décomposer ⃗KM sur les vecteurs ⃗AC , ⃗AB et ⃗BC .
En déduire une décomposition de ⃗KM sur les vecteurs ⃗AB et ⃗AC seulement.
c) Montrer que K, L et M sont alignés.
