Corrigé
Exercice 3.
⃗AD = 1
2 ⃗AC , ⃗AE = 1
3 ⃗AB et ⃗BF = 2 ⃗BC . 1. Solution analytique dans le repère (A ; ⃗AB , ⃗AC ).
a) D( 0 ; 1
2 ), E( 1 3 ; 0)
et ⃗BF = 2 ⃗BC = 2 ⃗BA + 2 ⃗AC = - 2 ⃗AB + 2 ⃗AC donc ⃗AF = ⃗AB + ⃗BC = - ⃗AB + 2 ⃗AC
donc F( - 1 ; 2).
b) ⃗DE (1
3 – 0 ; 0 – 1
2 ) = ⃗DE (1
3 ; – 1 2)
⃗DF (- 1 – 0 ; 2 – 1
2 ) = ⃗DF ( - 1 ; 3 2 ) 1
3 × 3
2 – (- 1) × (− 1 2 ) = 1
2 – 1 2 = 0
donc ⃗DE et ⃗DF sont colinéaires donc D, E et F sont alignés.
2. Solution vectorielle.
a) ⃗DE = ⃗DA + ⃗AE = 1
2 ⃗CA + 1
3 ⃗AB = 1
3 ⃗AB - 1 2 ⃗AC et ⃗DF = ⃗DB + ⃗BF = ⃗DA + ⃗AB + 2 ⃗BC = 1
2 ⃗CA + ⃗AB + 2⃗BA + 2⃗AC = -⃗AB + 3 2 ⃗AC b) On constate que ⃗DF = - 3⃗DE donc ⃗DE et ⃗DF sont colinéaires donc D, E et F sont alignés.
3. Solution géométrique.
a) On utilise le théorème des milieux dans le triangle ACI. On a (ED) // (CI) et D est le milieu de [AC] car ⃗AD = 1
2 ⃗AC donc E est le milieu de [AI].
b) Le segment [AB] est coupé en trois segments de même longueur car ⃗AE = 1
3 ⃗AB et E est le milieu de [AI] donc I est le milieu de [EB].
c) Dans le triangle BFE, C est le milieu de [BF] car ⃗BF = 2 ⃗BC et I est le milieu de [EB] donc (CI) est parallèle à la droite (FE), d'après le théorème des milieux.
(ED) // (CI) et (CI) // (FE)
donc les droites (ED) /et (FE) sont confondues donc D, E et F sont alignés.
