Le théorème de Thalès dans un triangle
1) Théorème de Thalès
a) Configuration
On considère le triangle ABC.
M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC].
On associe deux à deux les côtés des triangles ABC et AMN.
Côtés du triangle ABC [AB] [AC] [BC]
Côtés du triangle AMN [AM] [AN] [MN]
Exemple : Le côté associé au côté [BC] est le côté [MN].
b) Enoncé
Soit un triangle ABC. Soit M un point du côté [AB] et N un point du côté [AC].
Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC),
Alors AM AN MN
AB = AC = BC . Remarque :
• Lorsque le théorème de Thalès s’applique, les longueurs des côtés du triangle AMN et les longueurs des côtés associés du triangle ABC sont proportionnelles.
• Ce théorème s’étend au cas où le point M appartient à la demi-droite [AB) et le point N à la demi-droite [AC).
Si (MN) parallèle à (BC), AlorsAM AN MN AB = AC = BC .
2) Applications du théorème de Thalès a) Calcul d’une longueur
On considère la figure ci-contre pour laquelle:
- Les points O, E et S et les points O, U et R sont alignés.
- OU = 3, OE = 4, OR = 10 et RS = 9 ; - Les droites (UE) et (RS) sont parallèles.
Calculer les longueurs OS et UE.
Dans le triangle ORS, on sait que :
U appartient à [OR], E appartient à [OS] et (UE) parallèle à (RS).
D’après le théorème de Thalès:OE OU EU OS = OR = SR . C'est-à-dire : 4 3
10 9
EU OS = =
Calcul de OS Calcul de EU
Comme 4 3
10, OS =
on a : 3×OS= ×4 10 ; ainsi : 4 10
OS= ×3 .
Donc 40
OS= 3
Comme 3 10 9 ,
= EU
on a : 10×EU = ×3 9 ; ainsi : 3 9
EU = 10× .
Donc 27
EU =10
b) Réduction ou agrandissement d’un triangle
Sur la figure ci-contre :
- les points O, A et M sont alignés ; - les points O, B et N sont alignés ; - les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
Définitions :
Le triangle OMN est une réduction du triangle OAB Le triangle OAB est un agrandissement du triangle OMN
Propriété Toutes les longueurs du triangle OAB sont
multipliées par un même nombre.
Toutes les longueurs du triangle OMN sont multipliées par un même nombre.
0< <k 1
OM = ×k OA, ON= ×k OB et MN = ×k AB 1<k' '
OA= ×k OM , OB= ×k' ON et AB= ×k' MN
