Théorème sur le triangle sphérique

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C OMBESCURE

Théorème sur le triangle sphérique

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 16 (1857), p. 142-143

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THÉORÈME SUR LE TRIANGLE SPHÉRIQUE :

PAR M. COMBESCURE, Professeur à Montpellier.

Théorème. ABC triangle sphérique; O centre de la sphère, V^t volume du parallélipipède qui a pour arêtes O A', OB', OC'; A', IV, C' sont les milieux des côtés du triangle. S étant Taire du triangle, on a

V, = s i n - S .

2

(CORNÉLIUS REOGH.)

Démonstration. En désignant par a', b', c¹ les côtés du triangle A', B', C', on a

, i i j . T . i ,

cos r = — a cos — b -h sin — a sin - o cos C , 2 2 a i

ou, en substituant les expressions connues de cos— <2, sin - a, etc., en fonction des angles ,

V-

sm ( A b ) sm { B ! cosc' = cos — S

2 V sin A sin B Maintenant on a

= i — cos3 n' — cos2 bf — cos2 c' -f- 2 cos a' cos b' cos c', et en substituant les expressions précédentes de cos c', cos//, cos a', il \ i e n t , après quelques transformations faciles,

= i — c o s2-

2

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ou

V, =sin-S.

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