I.U.T. de Brest Ann´ee 2018-19
G.M.P. 1. Devoir du 24/05/2019
M2301 - Calcul int´egral et calcul matriciel Dur´ee : 1h
• Aucun document autoris´e
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• La r´edaction comptera pour une part non n´egligeable de la note
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1. On consid`ere m un nombre r´eel donn´e. On d´efinit la matrice Am de M3(R) par : Am =
m−2 4−2m m2 −6m+ 8
0 2m 1
2−m −4 −1
.
Partie A (≃4,5 points).
1. Calculer le d´eterminant deAm; on ´ecrira le r´esultat sous forme factoris´ee.
2. Pour quelles valeurs de m la matrice Am est-elle inversible ? Partie B (≃4 points).
1. On se place dans le cas o`um = 2. Si cela est possible, calculer l’inverse de la matriceA2. 2. On se place dans le cas o`um = 3. Si cela est possible, calculer l’inverse de la matriceA3. Partie C (≃11,5 points).
On consid`ere le syst`eme (Sm) suivant :
(m−2)x + (4−2m)y + (m2−6m+ 8)z = 0
2my + z = 0
(2−m)x − 4y − z = 0
Remarque. Comme vu entd, on pourra interpr´eter les solutions (x, y, z) de ce syst`eme comme des coordonn´ees de points situ´es dans un rep`ere orthonorm´e
O,~i,~j, ~k
de l’espace.
1. On se place dans le cas o`um = 0.
R´esoudre le syst`eme (S0), puis d´ecrire clairement l’ensemble des triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (S0). Donner une interpr´etation g´eom´etrique pr´ecise de l’ensemble des solutions.
2. On se place dans le cas o`um = 2.
R´esoudre le syst`eme (S2), puis d´ecrire clairement l’ensemble des triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (S2). Donner une interpr´etation g´eom´etrique pr´ecise de l’ensemble des solutions.
3. On se place dans le cas g´en´eral o`u m est un r´eel quelconque.
a) En notant X =
x y z
, ´ecrire le syst`eme (Sm) sous la forme d’une ´equation matricielle.
b) En d´eduire, pour chaque r´eel m, l’ensemble des triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (Sm). Donner ´egalement `a chaque fois une interpr´etation g´eom´etrique pr´ecise de l’ensemble des solutions.
Fin du devoir
