Devoir de mai 2019 et son corrigé (Calcul matriciel)

I.U.T. de Brest Ann´ee 2018-19

G.M.P. 1. Corrig´e du devoir du 24/05/2019

M2301 - Calcul int´egral et calcul matriciel

Exercice 1. On consid`ere m un nombre r´eel donn´e. On d´efinit la matrice A^m de M3(R) par :

A^m =





m−2 4−2m m² −6m+ 8

0 2m 1

2−m −4 −1



.

Partie A (≃4,5 points).

1.

det(A^m) =

m−2 4−2m m²−6m+ 8

0 2m 1

2−m −4 −1

On effectue L3 :=L3+L1 :

det(A^m) =

m−2 4−2m m²−6m+ 8

0 2m 1

0 −2m m²−6m+ 7

Une fois qu’on a mis deux z´eros sur C1, on peut d´evelopper ce dernier d´eterminant par rapport `a C1 et continuer le calcul. Mais on peut ˆetre plus efficace ici, en effectuant L3 := L3 +L2 (ce qui revient `a dire qu’on aurait pu d`es le d´ebut effectuer L3 :=L3+L2+L1) :

det(A^m) =

m−2 4−2m m²−6m+ 8

0 2m 1

0 0 m²−6m+ 8

On obtient un triangle de z´eros sous la diagonale principale, ce qui permet de calculer directement le d´eterminant :

det(A^m) = (m−2)×2m×(m²−6m+ 8) = 2m(m−2)(m²−6m+ 8)

2. La matriceA^m est inversible si et seulement si det(A^m)6= 0.

Or, avec la question pr´ec´edente, on a :

det(A^m) = 0 si et seulement si 2m(m−2)(m²−6m+ 8) = 0, ssim = 0 oum−2 = 0 ou m²−6m+ 8 = 0, ssim = 0 oum = 2 oum² −6m+ 8 = 0.

Pour le trinˆome du second degr´e m² −6m+ 8, on calcule son discriminant ∆ = 36−32 = 4 = 2² puis on trouve ses racines 2 et 4.

On a donc det(A^m) = 0 ssi m= 0 ou m= 2 ou m= 4.

Ainsi A^m est inversible si et seulement si le r´eel m est diff´erent de 0, de 2 et de 4.

Partie B (≃4 points).

1. On se place dans le cas o`u m = 2. D’apr`es la question 2 de la partie A, la matrice A2 n’est pas inversible ; il est donc impossible de calculer son inverse.

2. On se place dans le cas o`um= 3. D’apr`es la question 2 de la partie A, la matrice A3 est inversible.

Pour calculer l’inverse de la matrice A3, on proc`ede comme en td : on va r´esoudre l’´equation matricielle A3X =B o`uX =



 x y z



et B =



 a b c



. Ici A3 =





1 −2 −1

0 6 1

−1 −4 −1



. Il s’agit donc de r´esoudre le syst`eme suivant :

(S) :







x − 2y − z = a (E1) 6y + z = b (E2)

−x − 4y − z = c (E3)

On prend x pour pivot dans (E1). On ne touche pas `a (E2) puisque x n’y apparait pas. Il reste `a

´eliminer le terme enx dans (E3) :

(S)⇐⇒







x − 2y − z = a

6y + z = b

− 6y − 2z = c+a en ayant effectu´e (E3) := (E3) + (E1)

On va maintenant ´eliminer le terme en y dans (E3) (sans, ´evidemment, remettre du x dans cette

´equation) ; c’est pour cela qu’on travaille uniquement avec (E3) et (E2) :

(S)⇐⇒







x − 2y − z = a

6y + z = b

− z = c+a+b en ayant effectu´e (E3) := (E3) + (E2) (S)⇐⇒







x − 2y − z = a

6y + z = b

z = −a−b−c

On remplace z par −a−b−cdans (E2) pour obtenir 6y=b−z =a+ 2b+c. D’o`uy= ^a+2b+c₆ . Puis on remplace z ety par leurs valeurs dans (E1) pour obtenir :

x=a+ 2y+z =a+ a+ 2b+c

3 −a−b−c= a 3 − b

3− 2c 3

En r´esum´e on a obtenu



















x= a 3 − b

3 −2c 3 y= a

6+ b 3+ c

6 z =−a−b−c

Ce dernier syst`eme s’´ecrit aussi X =NB o`uN est la matrice d´efinie par

N =













1

3 −¹₃ −²₃

1 6

1 3

1 6

−1 −1 −1













Mais commeA3 est inversible, l’´equationA3X=B est ´equivalente `a X =A⁻3¹B et donc la matrice N ci-dessus n’est autre que A⁻3¹.

Partie C (≃11,5 points).

On consid`ere le syst`eme (S^m) suivant :







(m−2)x + (4−2m)y + (m²−6m+ 8)z = 0

2my + z = 0

(2−m)x − 4y − z = 0

1. On se place dans le cas o`um = 0.

(S0) est le syst`eme suivant :







−2x + 4y + 8z = 0 z = 0

2x − 4y − z = 0

(S0)⇐⇒







−2x+ 4y = 0 z = 0

2x−4y= 0

⇐⇒







x = 2y z = 0 x = 2y

⇐⇒

x= 2y z = 0

Par cons´equent les triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (S0) s’´ecrivent sous la forme : (x, y, z) = (2y, y,0)

avec y un r´eel quelconque.

Interpr´etation : chacune des ´equations du syst`eme initial ´etant l’´equation d’un plan dans l’espace, la r´esolution du syst`eme correspond `a la recherche de l’intersection de trois plans ; ici l’intersection donne une droite. En effet, on peut ´ecrire :



 x y z



=



 2y

y 0



=



 0 0 0



+y



 2 1 0





Ainsi les solutions du syst`eme correspondent aux points de la droite passant par le point de coor- donn´ees



 0 0 0



 et de vecteur directeur le vecteur de coordonn´ees



 2 1 0



.

2. On se place dans le cas o`um = 2.

(S2) est le syst`eme suivant :







0x + 0y + 0z = 0

4y + z = 0

− 4y − z = 0

(S2)⇐⇒





 0 = 0 z =−4y z =−4y

⇐⇒z =−4y

Attention (erreur fr´equente) : la premi`ere ´equation 0 = 0 est toujours v´erifi´ee et ne donne aucune condition sur x, ni sur y, ni sur z. Il n’y a AUCUNE raison de croire que x= 0...

Par cons´equent, les triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (S2) s’´ecrivent sous la forme : (x, y, z) = (x, y,−4y)

avec x ety des r´eels quelconques.

Interpr´etation : chacune des ´equations du syst`eme initial ´etant l’´equation d’un plan dans l’espace, la r´esolution du syst`eme correspond `a la recherche de l’intersection de trois plans ; ici l’intersection donne un plan (et c’est mˆeme le plan d’´equation z =−4y! ! !). En effet, on peut ´ecrire :



 x y z



=



 x y

−4y



=



 0 0 0



+x



 1 0 0



+y



 0 1

−4





Ainsi les solutions du syst`eme correspondent aux points du plan passant par le point de coordonn´ees



 0 0 0



et dirig´e par les vecteurs de coordonn´ees



 1 0 0



 et



 0 1

−4



.

3. On se place dans le cas g´en´eral o`u m est un r´eel quelconque.

a) Rappelons que le syst`eme (S^m) est le suivant :







(m−2)x + (4−2m)y + (m²−6m+ 8)z = 0

2my + z = 0

(2−m)x − 4y − z = 0

En notant X =



 x y z



, le syst`eme (S^m) peut aussi s’´ecrire sous la forme :





m−2 4−2m m²−6m+ 8

0 2m 1

2−m −4 −1



×



 x y z



=



 0 0 0





c’est-`a-dire encore

A^mX =



 0 0 0



.

b) D’apr`es la question C.3.a., r´esoudre le syst`eme (S^m) c’est trouver tous les X v´erifiant A^mX =



 0 0 0



.

Or, comme on l’a vu en cours (et en td) lorsqu’on a d´etermin´e l’inverse de matrices, on sait que si A^m est inversible, alors X sera donn´e par :

X =A⁻m¹×



 0 0 0



.

Nous sommes donc en mesure de r´esoudre le syst`eme (S^m) pour n’importe quel r´eel m :

• Si m /∈ {0; 2; 4}, la matrice A^m est inversible d’apr`es la question A.2. et on proc`ede comme expliqu´e trois lignes plus haut. Peu importe les coefficients de (A^m)⁻¹, on a :

X =



 x y z



= (A^m)⁻¹×



 0 0 0



=



 0 0 0



.

En r´esum´e, pour n’importe quel r´eel m diff´erent de 0, 2 et 4, le syst`eme (S<sup>m</sup>) admet un seul triplet solution : (0; 0; 0). Dans ce cas, cela signifie que les 3 plans correspondant aux 3 ´equations d´efinissant (S<sup>m</sup>) s’intersectent en un seul point : le point de coordonn´ees (0; 0; 0), origine du rep`ere.

• Sim= 0, on l’a d´ej`a trait´e `a la question C.1.

• Sim= 2, on l’a d´ej`a trait´e `a la question C.2.

• Sim= 4, on r´esout le syst`eme (S<sup>m</sup>) avec m = 4. Le syst`eme est donn´e par :







2x − 4y = 0

8y + z = 0

−2x − 4y − z = 0

(S4)⇐⇒







x= 2y z =−8y

−2x−4y−z = 0

On remplacexpar 2y, etzpar−8ydans la troisi`eme ´equation pour obtenir−2(2y)−4y−(−8y) = 0, c’est-`a-dire−4y−4y+ 8y= 0, c’est-`a-dire encore 0 = 0. Par cons´equent,

(S4)⇐⇒

x= 2y z =−8y

Par cons´equent les triplets (x, y, z) qui sont solutions du syst`eme (S4) s’´ecrivent sous la forme : (x, y, z) = (2y, y,−8y)

avec y un r´eel quelconque.

Interpr´etation : chacune des ´equations du syst`eme initial ´etant l’´equation d’un plan dans l’es- pace, la r´esolution du syst`eme correspond `a la recherche de l’intersection de trois plans ; ici l’intersection donne une droite. En effet, on peut ´ecrire :



 x y z



=



 2y

y

−8y



=



 0 0 0



+y



 2 1

−8





Ainsi les solutions du syst`eme correspondent aux points de la droite passant par le point de coordonn´ees



 0 0 0



 et de vecteur directeur le vecteur de coordonn´ees



 2 1

−8



.

Fin du corrig´e