G.M.P. 2. Devoirdu 06/03/2015
Courbes param
etr
ees (M4301) Duree :1h30
Seul doument autorise: formulaire distribueen debut de premiere annee
Calulatrie,ours et TDnon autorises
Toutes les reponses devront ^etre justiees
Exerie 1 ('10;5 points). On onsidere la ourbe parametree denie pour tout t2 R par :
8
<
:
x(t) = t(t 2
3)
y(t) = t 2
(4 t 2
)
On noteM(t)lepointde oordonneesartesiennes (x(t);y(t))dansun repere orthonorme(O;~{;~|)duplan.
On souhaitedeterminer lelieu des points M(t) lorsquele parametre t derit R.
1. a) Par quelle transformation geometrique passe-t-on du point M( t) aupoint M(t)?
b) Sur quel intervalle peut-on restreindre l'etude de la ourbe?
2. a) Calulerles derivees des fontions xet y sur [0;+1[.
b) Calulerles limitesdes fontionsx et y en +1.
)Dresserletableaudevariationsdesfontionsxetysur[0;+1[.Onaluleraegalementlesvaleurs
au bout des ehes.
3. a) Determiner un veteur direteur de latangente a laourbe aupointM(0).
b) M^eme question ave les points M(1) etM( p
2).
4.
Etudier leseventuelles branhes innies.
5. Determiner lesoordonnees des pointsou laourbeoupe l'un des axes du repere.
6. Traer ette ourbe en respetant partiulierement les resultats trouves aux questions preedentes.
On pourra prendre pour le trae (et uniquement pour le trae) les valeurs approhees suivantes :
p
2'1;4et p
3'1;7.
Pour tout reel, onnote
!
u
le veteur deni par
!
u
=os ()~{+sin()~|.
On onsidere laourbedenie en polaire par
r()=8sin 3
3
=8
sin
3
3
pour tout reel.
Si onnote M()le pointde oordonnees polaires(r();),on souhaitedeterminerle lieudes pointsM()
lorsque leparametre derit R.
On rappelle qu'ii
!
OM()=8sin 3
3
!
u
pour tout 2R:
1. a) Par quelle transformation geometrique passe-t-on du point M(+3) aupointM()?
b) Par quelle transformation geometrique passe-t-on du point M( ) aupointM()?
) Sur quel intervalle peut-on restreindre l'etude de laourbe?
2. Dresser le tableau de variations de la fontion r sur
0;
3
2
. On aluleraegalement lesvaleurs au
bout des ehes.
3. a) Determiner un veteur direteur de latangente aupointM
2
.
b) M^eme question ave les points M() etM
3
2
.
4. Traerl'allure de laourbe en respetant les resultatstrouvesaux questions preedentes.
On admettra quela tangente aupoint M(0) est horizontale dans lerepere (O;~{;~|).
On pourra prendre pour letrae (et uniquement pour le trae) lavaleur approhee suivante :
p
3'1;7.