CORRECTION DE L EX IX DE LA FICHE LOIS CONTINUES EXERCICES BAC
IX. Amérique du Nord juin 2018.
Partie A - Démonstration préliminaire
1. Rappel : pour vérifier que G est une primitive de g, on dérive G et on vérifie que G g. G est dérivable sur [0;+ [.
Pour tout t 0, G (t) 1e 0,2t ( t 5)
(
0,2e 0,2t)
e 0,2t 0,2t e 0,2t e 0,2tG (t) 0,2te 0,2t G (t) g(t).
G est donc une primitive de g sur [0 [.
2. E(X) lim
x
0
x0,2te 0,2tdt
Pour cal cul er l intégral e, on uti lise l a pri mitive que l on a trouvée à la quest ion 1.
0
x0,2te 0,2tdt
( t 5)e 0,2t
0 x
( x 5)e 0,2x ( 5)e0 xe 0,2x 5e 0,2x 5 On cherche donc lim
x
xe 0,2x 5e 0,2x 5
D après l indication de l énoncé, lim
x
xe 0,2x 0 :
En voici une démonstration (au cas où on vous le demande dans un ex sur l exponentielle) : on essaie de faire apparaître XeX en :
xe 0,2x 1
0,2( 0,2x)e 0,2x 5 ( 0,2x)e 0,2x. On pose X 0,2x.
lim
x
X et lim
X
XeX 0 (d après le cours sur l exp) donc lim
x
( 0,2x)e 0,2x 0 et donc li m
x
xe 0,2x li m
x
5 ( 0,2x)e 0,2x 0
on cherche lim
x
5e 0,2x : On pose X 0,2x.
lim
x
X et lim
X
eX 0 (d après le cours sur l exp) donc lim
x
e 0,2x 0 et donc lim
x
5e 0,2x 0
on conclut : E(X) lim
x
xe 0,2x 5e 0,2x 5 0 0 5 5 Partie C - Durée d’attente pour le paiement
Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.
1. La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 min.
Notons X la variable aléatoire correspondant à la durée d attente à une borne automatique, en minutes.
a. E(X) 5 d après la partie A donc la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement est 5 minutes.
b. P(X 10) 1 P(0 X 10) 1
0
100,2e 0,2tdt 1
e 0,2t
0 10
1
(
e 2 e0)
e 2P(X 10) 0,135
La probabilité que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes est environ 0,135.
2. On note p la proportion des clients qui choisissent une borne automatique.
On peut construire l arbre pondéré ci-dessous :
On remarque que, parmi les clients choisissant une borne automatique, 14%
attendent moins de 10 minutes, ce qui correspond bien au résultat trouvé à la question 1.
B et B forment une partition de . D après la formule des probabilités totales, P(S) P(B) PB(S) P
( )
B PB(S)P(S) 0,86p 0,63(1 p) 0,86p 0,63 0,63p 0,23p 0,63 On cherche donc p tel que 0,23p 0,63 0,75
0,23p 0,63 0,75 p 12 23 .
La proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que l objectif soit atteint est 12
23 soit environ 52,2%
Partie D - Bons d’achat
Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 10€ d’achats. Par exemple, si le montant des achats est 58,64€, alors le client obtient 5 cartes; si le montant est 124,31€, le client obtient 12 cartes. Les cartes gagnantes représentent 0,5% de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise.
1. Le client effectue des achats pour un montant de 158,02€ donc il obtient 15 cartes.
Méthode 1
On peut imaginer un arbre comme ci-dessous. Les cartes étant indépendantes, les probabilités sont les mêmes à chaque niveau. Gi est l événement "la ième carte est gagnante".
L événement "au moins une carte est gagnante" correspond à tous les chemins sauf le dernier.
La probabilité qu au moins une carte soit gagnante est 1 0,995 15 0,07.
Méthode 2
On peut assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise donc on répète 15 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une carte et à noter si elle est gagnante. La probabilité qu elle soit gagnante est 0,5
100.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de cartes gagnantes. X suit la loi binomiale de paramètres n 15 et p 0,5
100. P(X 0) 1 P(X 0) 1
1 0,5
100
15
0,07
La probabilité qu au moins une carte soit gagnante est environ 0,07.
2. Soit n le nombre de cartes obtenues.
De même, en remplaçant 15 par n, la probabilité qu au moins une carte soit gagnante est 1 0,995n. On cherche donc n tel que 1 0,995n 0,5
1 0,995n 0,5 0,995n 0,5
0,995n 0,5
ln
(
0,995n)
ln(0,5) car la fonction ln est strictement croissante sur +* nln(0,995) ln(0,5)
n ln(0,5)
ln(0,995) on change le sens de l inégalité car ln(0,995) 0 car 0,995 1.
ln(0,5)
ln(0,995) 138,3 et n est entier donc 1 0,995n 0,5 n 139
La probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est supérieure à 50% à partir de 139 cartes donc à partir de 1390€ d achats.
