LOIS CONTINUES.
EXERCICES BAC.
I. D après Polynésie juin 2014
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas. Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Affirmation 1 : « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »
2. Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B.
Affirmation 2 : « Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants. »
3. On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,7.
Affirmation 3 : « La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ. »
Affirmation 4 : « Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »
II. D après Pondichéry avril 2014
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre
, où
est un réel strictement positif.
On sait que P (X 2) 0,15. Déterminer la valeur exacte du réel
. Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de
.
2.
a. Déterminer P( X 3).
b. Montrer que pour tous réels positifs t et h, P
X t( X t h ) P (X h ).
c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ?
d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.
III. D’après Antilles-Guyane juin 2015.
Partie A
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre
avec
> 0.
On rappelle que, pour tout réel a strictement positif,
0 a t
X a e dt
P
.
On se propose de calculer l’espérance mathématique de X, notée
E
X, et définie par
0lim
x t
x
X te dt
E
.
On admet que la fonction F définie sur IR par
1 t
F t t e
est une primitive sur IR de la fonction f définie par
f t
tet.
1. Soit x un nombre réel strictement positif. Vérifier que 0
1 1
x t x x
te dt xe e
.
2. En déduire que
E
X 1. Partie B
La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre
avec
> 0.
La courbe de la fonction densité associée est représentée ci- dessous.
1. Sur le graphique :
a. Représenter la probabilité
P
X1 .
b. Indiquer où se lit directement la valeur de
. On suppose que
E
X 2.
2. Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
3. Calculer la valeur de
.
4. Calculer
P
X2 . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01 près. Interpréter ce résultat.
5. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
IV. Métropole juin 2015.
Les résultats des probabilités seront arrondis à
103près.
Partie 1
1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre
, où
est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur
0 . par
xf x e
.
a. Soit c et d deux réels tels que
0 c d. Démontrer que la probabilité
P
cXd vérifie
b. Déterminer une valeur de
à 10
−3près de telle sorte que la probabilité
P
X20 soit égale à 0,05.
c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X.
Dans la suite de l’exercice on prend
= 0,15.
d. Calculer
P
10X20 .
e. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 18).
Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés.
Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.
1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.
2. Montrer qu’une valeur approchée à 10
−3près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une
valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
LOIS CONTINUES.
EXERCICES BAC.
CORRECTION I. D après Polynésie juin 2014
1. On construit un arbre.
La probabilité qu elle utilise la voiture est 1
4 0,8 3
4 0,4 0,5 : VRAI.
2. VRAI (voir démo dans le cours)
3. P( T 5) 1 P(0 T 5) e e
3,50,03 : FAUX
E(T)=1/07 1,42 : FAUX II. D après Pondichéry avril 2014
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
1. P( X 2)
0
2
