() () () () CORRECTION DE LEX II DE LA FICHE LOIS CONTINUES EXERCICES BAC

CORRECTION DE L EX II DE LA FICHE LOIS CONTINUES EXERCICES BAC

II. Amérique du Sud novembre 2016. Fonction de densité.

1. On suppose que la fonction f s’écrit sous la forme f (x ) ( ax+b )e

où a et b sont des réels.

O est une point de C

donc f(0) 0, c'est-à-dire (a 0 b )e

0 ou encore b 0.

(OA) est tangente à C

au point O donc f (0) est le coefficient directeur de (OA ), c'est-à-dire f (0) y

y

x

x

1 0 0,5 0 2.

On va donc cal cul er f (x ) en fonction de x pour pouvoir utiliser le fait que f (0) 2.

f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x ) ae

(ax b) ( ^2xe

)

On a trouvé b 0 donc on remplace b par 0 : f (x) ae

ax ( ^{2 xe}

)

On calcule maintenant f (0) en remplaçant x par 0 : f (0) ae

0 a

On a aussi f (0) 2 donc on en conclut que a 2.

Ainsi, f(x )=2 xe

pour tout x appartenant à [0 ∞[.

Dans la suite de l énoncé, on retrouve cette expression, ce qui nous laisse penser que nous ne nous sommes pas trompés.

2.

a. Pour x 0 : f (x ) 2 x

x ² e

On cherche séparément la limite des deux facteurs : lim

x

2 x

0.

Pour la limite de x²

e

, on pose X x² pour faire apparaître X e

. On pose X x².

lim

x

X et lim

X

X

e^X

0 (c est le cours sur la fonction exp !!!) donc lim

x

x² e^x²

0 Alors lim

x

f (x ) 0 0 0.

b. On a déterminé f (x) dans la question 1.

Pour tout x de , f (x) 2 e

2x ( ^{2 xe}

) ^{2 e}

^{4x ² e}

^e

^{(2 4x²).}

Signe de 2 4x² : les racines du trinôme sont 2 2 et 2

2 et a 1 0.

x 0 2

2 e

2 4 x²

signe de f (x ) e

(1 x)

variations de

0 0

3. La fonction g dont la courbe représentative C

passe par le point B(0;−1) est une primitive de la fonction f sur [0 [.

a. Dans cette question, on cherche une primitive particulière de f . Il faut donc trouver la constante C pour laquelle g(0) 1.

f( x) 2xe

( ^{2 xe}

) de la forme 1 u e

.

Les primitives de f sont les fonctions g définies sur [0 [ par g (x ) e

C où C est un réel.

On sait de plus que C

passe par B (0 1) donc g(0) 1.

g(0) 1 donc e

C 1 donc C 0.

Pour tout x 0, g (x ) e

.

b. I

=  

0

m

f( t)dt

 

  g (t )

0 m

g (m ) g(0) e

1 1 e

c. On pose M m ².

lim

m

M et lim

M

e

0 donc lim

m

e

0 et donc lim

m

I

1.

4.

a. Pour x 0, f ( x) 2xe

. f est continue sur [0 [.

Pour tout x 0, 2 x 0 et e

0 donc f( x) 0 : f est positive sur [0 [.

L aire sous la courbe de f est lim

m

 

0

m

f (t )dt 1 d après la question précédente.

Donc f est une fonction densité de probabilité sur [0 ∞[.

b. Soit X une variable aléatoire continue qui admet la fonction f comme densité de probabilité.

Pour tout réel x de [0 ∞[, P( X x )  

0 x

f (t )dt

 

  g (t )

0 x

g (x ) g(0) g( x) 1

P( X ) 0,5  g ( ) 1 0,5  g ( ) 0,5  e

0,5  ² ln(0,5)  ln(2) car 0 (et car ln

 

 

2

ln(2))

g ( ) 0,5 donc on peut placer sur l axe des abscisses en utilisant la courbe de g puis, ensuite, utiliser le fait que P (X )  

0

f (x )dx est l aire sous la courbe de f entre les droites

verticales d équation x 0 et x .