LOIS CONTINUES. EXERCICES BAC.

LOIS CONTINUES. EXERCICES BAC.

I. Soit f la fonction définie sur [0 ln(2)] par f( x) e

. 1. Montrer que f est une fonction de densité.

X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f.

2. Calculer P (X 0,5).

3. Calculer P  

 

1

5 X ¹

2

4.

a. Soit G la fonction définie sur par G (x ) (x 1)e

. Calculer G ( x).

b. Calculer l espérance de X.

II. Amérique du Sud novembre 2016. Fonction de densité.

Les courbes C

et C

données ci-dessous sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé, de deux fonctions f et g définies sur [0 ∞[.

On considère les points A(0,5;1) et B(0;−1). On sait que O appartient à C

et que la droite (OA) est tangente à C

au point O.

1. On suppose que la fonction f s’écrit sous la forme f (x ) ( ax+b )e

où a et b sont des réels.

Déterminer les valeurs exactes des réels a et b , en détaillant la démarche.

Désormais, on considère que f( x)=2 xe

pour tout x appartenant à [0 ∞[.

2.

a. On admettra que pour tout réel x 0, f( x)= 2 x × x ²

e

. Calculer lim

x

f(x ).

b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction f sur [0 [.

3. La fonction g dont la courbe représentative C

passe par le point B(0;−1) est une primitive de la fonction f sur [0 [.

a. Déterminer l’expression de g( x).

b. Soit m un réel strictement positif. Calculer I

=  

0

m

f( t)dt en fonction de m.

c. Déterminer lim

m

I

. 4.

a. Justifier que f est une fonction densité de probabilité sur [0 ∞[.

b. Soit X une variable aléatoire continue qui admet la fonction f comme densité de probabilité.

Justifier que, pour tout réel x de [0 ∞[, P (X x) g (x ) 1.

c. En déduire la valeur exacte du réel tel que P( X ) 0,5.

d. Sans utiliser une valeur approchée de , construire dans le repère le point de coordonnées

( 0) en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan

correspondant à P( X ).

III. D après Polynésie juin 2014

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponseZoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.

Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas. Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.

Affirmation 1 : « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »

1. Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B.

Affirmation 2 : « Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants. »

2. On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,7.

Affirmation 3 : « La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ. »

Affirmation 4 : « Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »

IV. Polynésie juin 2017 Partie A

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique : le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10

.

1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D

qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6.

a. Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance ?

b. Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes.

2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D

qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, λ étant un réel strictement positif.

a. Sachant que P ( ^D

⁴ ) 0,798, déterminer la valeur de λ.

b. En prenant λ 0,4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur ?

V. D’après Antilles-Guyane juin 2015.

La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre avec 0.

La courbe de la fonction densité associée est représentée ci-contre.

1. Sur le graphique :

a. Représenter la probabilité P( X 1).

b. Indiquer où se lit directement la valeur de . On suppose que E (X ) 2.

2. Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ?

3. Calculer la valeur de .

4. Calculer P (X 2). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01 près. Interpréter ce résultat.

5. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de

vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.

VI. Polynésie juin 2019.

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.Un commerçant vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.

La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction f de densité de la loi exponentielle est donnée sur [0 ∞[ par f (x) λe

.Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire l’espérance mathématique de X, est de 10 mois.

1. Justifier que λ 0,1.

2. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.

3. Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année ? Justifier.

4. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps t, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l’évènement (X t) est égale à 0,05. Déterminer la valeur de t arrondie à l’entier.

VII. D après Pondichéry avril 2014

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  , où  est un réel strictement positif.

On sait que P(X 2) 0,15. Déterminer la valeur exacte du réel  . Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de  .

2.

a. Déterminer P(X 3).

b. Montrer que pour tous réels positifs t et h, P

(X t h ) P (X h ).

c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ?

d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.

VIII. D’après Centres Étrangers juin 2014 Bac ES.

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s’est déroulée en deux temps : - premier temps : étude du dossier présenté par le candidat;

- deuxième temps : entretien en vue du recrutement.

Le processus de recrutement mis en œuvre par l’entreprise est le suivant :

- si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines;

- si le dossier n’est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l’entreprise.

Dans les deux cas, à l’issue de l’entretien, le candidat est recruté ou ne l’est pas. À l’issue de cette campagne de recrutement, l’entreprise publie les résultats suivants :

• 30% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité;

• 20% des candidats n’ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés;

• 38% des candidats ont été recrutés.

1. On prend un candidat au hasard et on note D : « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité » ;

R : « le candidat est recruté par l’entreprise ». Calculer la probabilité qu’un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité.

2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l’entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes. Calculer la probabilité qu’au moins trois des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10

.

3. Calculer la probabilité qu’exactement trois personnes parmi les 10 soient recrutées

4. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines. Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h. On désigne par T la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on admet que T suit la loi uniforme sur

l’intervalle [8; 9]. Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.

IX. Amérique du Nord juin 2018.

On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville.

Partie A - Démonstration préliminaire

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2.

On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire X, notée E (X ), est égale à lim

x

 

0

x

0,2te

dt

Le but de cette partie est de démontrer que E( X) 5. Attention, on demande de redémontrer la propriété du cours E (X ) 1

dans ce cas particulier et non de l appliquer.

1. On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ∞[ par g (t ) 0,2te

et on définit la fonction G sur l’intervalle [0 ∞[ par G( t) ( t 5) e

.

Vérifier que G est une primitive de g sur l’intervalle [0 ∞[.

2. En déduire que la valeur exacte de E (X ) est 5.

Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : lim

x

xe

0.

Partie C - Durée d’attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 min.

a. Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement.

Calculer la probabilité, arrondie à 10

, que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes.

2. L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :

• parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86% attendent moins de10 minutes;

• parmi les clients passant en caisse, 63% attendent moins de 10 minutes.

On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants : B: « le client paye à une borne automatique »; B : « le client paye à une caisse avec opérateur »; S : « la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à 10 minutes ».Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75% des clients attendent moins de 10 minutes.

Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint?

Partie D - Bons d’achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 10€ d’achats. Par exemple, si le montant des achats est 58,64€, alors le client obtient 5 cartes; si le montant est 124,31€, le client obtient 12 cartes. Les cartes gagnantes représentent 0,5% de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de 158,02€.

Quelle est la probabilité, arrondie à 10

, qu’il obtienne au moins une carte gagnante?

2. À partir de quel montant d’achats, arrondi à 10€, la probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50%?

5.