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Exercices lois continues Terminale S

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Academic year: 2022

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Exercices lois continues Terminale S Exercice 1 ✯ Soit X la variable al´eatoire qui `a chaque, associe la production en tonnes d’un article. On suppose que X est continue `a valeurs dans l’intervalle [0; 10] dont la densit´e de probabilit´e f est d´efinie par :

f ( x ) = 0 . 006(10 x − x

2

)

➀ Prouver que f est bien une densit´e de probabilit´e.

➁ Calculer la probabilit´e des ´ev´enements suivants :

A :X ≤ 7 et B :

≪

la production quotidienne d´epasse 6 tonnes

≫

➂ D´eterminer l’esp´erance math´ematique de X.

Exercice 2 ✯ Le temps d’attente T `a une caisse, en minutes, est une variable al´eatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [1; 10].

➀ D´eterminer la fonction de densit´e.

➁ D´eterminer la probabilit´e des ´ev´enements suivants :

A :T ≤ 5 et B :

≪

le client attend plus de 4 minutes

≫

➂ D´eterminer l’esp´erance de T .

Exercice 3 ✯ La variable Y suit une loi exponentielle de param`etre λ = 0.25.

➀ D´eterminer p(Y < 2) et p(Y ≥ 5).

➁ D´eterminer p

Y≥2

(Y ≥ 4)

➂ D´eterminer l’esp´erance de Y .

Exercice 4 ✯ Une partie consiste `a lancer 300 fois une pi`ece de monnaie truqu´ee : la probabilit´e d’obtenir face est de 2

3 .

On d´esigne par X la variable al´eatoire qui `a chaque partie associe le nombre de faces obtenus.

➀ Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les param`etres.

➁ Peut-on calculer facilement p(X > 210) ?

➂ Pour faciliter le calcul de la probabilit´e pr´ec´edente, on applique le th´eor`eme de Moivre Laplace pour approcher la loi binomiale par une loi normale.

(a) D´eterminer les param`etres de cette loi normale.

(b) En d´eduire une valeur approch´ee de p(X > 210) avec la loi normale.

Exercice 5 ✯ Une machine fabrique des barres m´etalliques en acier. On choisit au hasard une pi`ece et on appelle L la variable al´eatoire ´egale `a la longueur de la pi`ece en millim`etres.

On suppose que L suit une loi normale de param`etre µ = 500 et d’´ecart-type σ = 0.12.

Un pi`ece est jug´ee conforme si la longueur est comprise entre 499.79 et 500.21.

➀ On choisit une pi`ece au hasard. Calculer la probabilit´e qu’elle ne soit pas conforme.

➁ D´eterminer au milli`eme pr`es, le r´eel α tel que p(500 − α ≤ L ≤ 500 + α) = 0.8.

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