3.5 LOIS CONTINUES 1

cours 16

3.5 LOIS CONTINUES 1

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

X ⇠ H(n, p, N ) Loi hypergéométrique

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

✓pN k

◆✓ qN n k

◆

✓N n X ⇠ H(n, p, N ) ◆

Loi hypergéométrique

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

✓pN k

◆✓ qN n k

◆

✓N n

◆ np

X ⇠ H(n, p, N ) Loi hypergéométrique

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Loi de Poisson X ⇠ P ( )

k

k! e

✓pN k

◆✓ qN n k

◆

✓N n

◆ np npq N n

N 1 X ⇠ H(n, p, N )

Loi hypergéométrique

Aujourd’hui, nous allons voir

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction f (x) = P (X = x)

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction f (x) = P (X = x)

On va donc devoir trouver une généralisation adéquate de la fonction de probabilité

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Dans de tels cas, il est plus pratique de travailler avec la fonction répartition.

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction f (x) = P (X = x)

On va donc devoir trouver une généralisation adéquate de la fonction de probabilité

Il arrive souvent qu’une variable aléatoire ait un ensemble de réalisation qui n’est pas dénombrable

Dans de tels cas, il est plus pratique de travailler avec la fonction répartition.

F (x) = P (X  x)

Avec de telles variables aléatoires, on a très souvent P (X = x_i) = 0

Auquel cas, on pourra difficilement travaillé avec la fonction f (x) = P (X = x)

On va donc devoir trouver une généralisation adéquate de la fonction de probabilité

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

f (x) 0 f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

f (x) 0 f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

f (x) 0

Une telle fonction est dite fonction de densité.

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

f (x) 0

Une telle fonction est dite fonction de densité.

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Dans ce cas la fonction de répartition est donnée par Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

P (X  x) = F (X)

f (x) 0

Une telle fonction est dite fonction de densité.

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Dans ce cas la fonction de répartition est donnée par Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

Soit une variable aléatoire dont l’ensemble de réalisation n’est pas dénombrable

Définition

P (X  x) = F (X) =

Z x 1

f (t) dt f (x) 0

Une telle fonction est dite fonction de densité.

f (x)

On dira que est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction telle que^X

Dans ce cas la fonction de répartition est donnée par Z ₁

1

f (x) dx = 1 et

P (X  b)

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

P (a  X  b) =

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

P (a  X  b) =

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

= P (X  b) P (X  a)

P (X  b) =

Z _b

1

f (x) dx

=

Z _a

1

f (x) dx +

Z _b

a

f (x) dx

P (a  X  b) =

Z b

a

f (x) dx =

Z b

1

f (x) dx

Z a

1

f (x) dx

= F (b) F (a)

= P (X  b) P (X  a)

Puisqu’on peut considérer

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

P (a  X  b)

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

P (a  X  b) = P (a < X  b)

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

P (a  X  b) = P (a < X  b)

= P (a  X < b)

Puisqu’on peut considérer

P (X = a) =

Z a

a

f (x) dx = 0

P (a  X  b) = P (a < X  b)

= P (a  X < b)

= P (a < X < b)

Exemple

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

= 16 3 C

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

= 16 3 C 1 =

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

= 16 3 C 1 =

16

3 C = 1

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C Z ₂

0

C(4x x²) dx

Z 0

1

0 dx =

Z ₁

2

0 dx = 0

= C

Z 2

0

(4x x²) dx

= C

✓

2x² x³ 3

◆ ²

0

= C

✓

8 8 3

◆

= 16 3 C 1 =

16

3 C = 1 =) C = 3 16

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1)

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1) = 3

16

Z 1

0

(4x x²) dx

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1) = 3

16

Z 1

0

(4x x²) dx

= 3 16

✓

2x² x³ 3

◆ ¹

0

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1) = 3

16

Z 1

0

(4x x²) dx

= 3 16

✓

2x² x³ 3

◆ ¹

0

= 3 16

✓

2 1 3

◆

Exemple

f (x) =

(C(4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Que vaut ? _C =) C = 3 16 P (X  1) = 3

16

Z 1

0

(4x x²) dx

= 3 16

✓

2x² x³ 3

◆ ¹

0

= 3 16

✓

2 1 3

◆

= 5 16

Exemple

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx = 100 x

1 100

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx = 100 x

1 100

= 100

1 + 100 100

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx = 100 x

1 100

= 100

1 + 100

100 = 1

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx = 100 x

1 100

= 100

1 + 100

100 = 1

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

R_i : la diode i est à remplacer après 150 h.

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Z ₁

100

100

x² dx = 100 x

1 100

= 100

1 + 100

100 = 1

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

est bien une fonction de densité car f (x)

R_i : la diode i est à remplacer après 150 h.

R_i

les sont indépendants

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 100

Z ₁₅₀

100

x ² dx

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 100

Z ₁₅₀

100

x ² dx

= 100

✓ 1

150 + 1 100

◆

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 100

Z ₁₅₀

100

x ² dx

= 100

✓ 1

150 + 1 100

◆ = 100

✓ 2

300 + 3 300

◆

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 100

Z ₁₅₀

100

x ² dx

= 100

✓ 1

150 + 1 100

◆ = 100

✓ 2

300 + 3 300

◆

= 1 3

=

Z 150

0

100

x² dx P (R_i)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 1 P (R_i) 3

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 1 P (R_i) 3

✓7 3

◆ ✓ 1 3

◆3 ✓ 2 3

◆4

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 1 P (R_i) 3

✓7 3

◆ ✓ 1 3

◆3 ✓ 2 3

◆4

= 35 · 2⁴ 3⁷

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est la probabilité que 3 de nos 7 diodes soient à remplacer après 150 heures

= 1 P (R_i) 3

✓7 3

◆ ✓ 1 3

◆3 ✓ 2 3

◆4

= 35 · 2⁴

3⁷ ⇡ 0, 26

Faites les exercices suivants

# 3.35 à 3.38

Définition

Définition

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Définition

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

et sa variance est

Définition

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Définition

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Remarque:

Définition

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Remarque:

Dans le cas continu, il est possible que l’espérance et la variance n’existent pas, car ces intégrales peuvent diverger.

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

E(X)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx

= 3 16

Z ₂

0

4x² x³ dx E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx

= 3 16

Z ₂

0

4x² x³ dx = 3 16

✓ 4x³ 3

x⁴ 4

◆ ²

0

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx

= 3 16

Z ₂

0

4x² x³ dx = 3 16

✓ 4x³ 3

x⁴ 4

◆ ²

0

= 2 3 4 E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx

= 3 16

Z ₂

0

4x² x³ dx = 3 16

✓ 4x³ 3

x⁴ 4

◆ ²

0

= 2 3

4 = 5 4 E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

=

Z ₁

1

✓

x 5 4

◆2

f (x) dx Var(X)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

=

Z ₁

1

✓

x 5 4

◆2

f (x) dx Var(X)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

= 3 16

Z 2

0

✓

x 5 4

◆2

(4x x²) dx

=

Z ₁

1

✓

x 5 4

◆2

f (x) dx Var(X)

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

= 3 16

Z 2

0

✓

x 5 4

◆2

(4x x²) dx

=

Z ₁

1

✓

x 5 4

◆2

f (x) dx Var(X)

= 3 16

Z 2

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

✓

x² 5

2 x + 25 16

◆

(4x x²) dx

= 3 16

Z 2

0

4x³ x⁴ 10x² + 5

2 x³ + 25

4 x 25

16 x² dx

= 3 16

Z 2

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

= 3 16

✓ x⁵

5 + 13x⁴ 8

185x³

54 + 25x² 8

◆ ²

0

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

= 3 16

✓ x⁵

5 + 13x⁴ 8

185x³

54 + 25x² 8

◆ ²

0

= 19 80

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

= lim

t!1 100(ln |t| ln(100)

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

= lim

t!1 100(ln |t| ln(100) = 1

Exemple

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

= lim

t!1 100(ln |t| ln(100) = 1

donc dans ce cas-ci, l’espérance n’existe pas.

Faites les exercices suivants

# 3.39

Théorème

Théorème

Y = aX + b

Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b)

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

= a

Z ₁

1

xf (x) dx + b

Z ₁

1

f (x) dx

= aE(X) + b

Théorème

Z ₁

1

g(x)f (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) = E(X²) E(X)²

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) = E(X²) E(X)²

reste valide pour les variables aléatoires continues.

Exemple

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X)