Faites les exercices suivants

# 3.35 à 3.38

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

et sa variance est

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Remarque:

Définition

Soit une variable aléatoire continue, son l’espérance est^X

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx et sa variance est

Remarque:

Dans le cas continu, il est possible que l’espérance et la variance n’existent pas, car ces intégrales peuvent diverger.

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

E(X)

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

=

Z 2

0

x 3

16 (4x x²) dx E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X)

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = 3 16

Z ₂

0

x⁴ + 13

2 x³ 185

16 x² + 25

4 x dx

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx =

Z ₁

100

100

x dx = 100 ln |x| ¹

100

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

Exemple

La durée de vie en heures d’une diode est donnée par la fonction de densité

f (x) =

(0 x  100

100

x² sinon

Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire?

E(X) =

donc dans ce cas-ci, l’espérance n’existe pas.

Faites les exercices suivants

# 3.39

Théorème

Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Y = aX + b

Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b)

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

Théorème

Preuve:

Y = aX + b alors _{E(Y ) = aE(X) + b} Si est une variable aléatoire continue etX

E(Y ) = E(aX + b) =

Z ₁

1

(ax + b)f (x) dx

=

Z ₁

1

axf (x) dx +

Z ₁

1

bf (x) dx

Théorème

Théorème

Théorème

Théorème

Théorème

Théorème

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) = E(X²) E(X)²

Var(X) =

Z ₁

1

(x E(X))²f (x) dx = E[(X E(X))²]

L’argumentaire utilisé lors du cours sur la variance à savoir que

Var(X) = E(X²) E(X)²

reste valide pour les variables aléatoires continues.

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X)

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = E(X²) E(X)²

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = E(X²) E(X)²

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

( 3

16 (4x x²) 0 < x < 2

0 sinon

= 5 E(X) 4

Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X²) = 3 16

Z 2

0

x²(4x x²) dx

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

Exemple

Supposons que est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par^X

f (x) =

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