Devoir maison 7

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Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC Page 1

Exercice 1

𝐴 =

1 −3 3

0 1 0

0 3 −2

ℬ = (𝑒 , 𝑒 , 𝑒 ) désigne la base canonique de ℝ . On note 𝑓 l’endomorphisme de ℝ canoniquement associé à 𝐴.

1. Déterminer les éléments propres de 𝑓

2. En déduire, en justifiant, que 𝑓 soit diagonalisable

3. Former une base ℬ de ℝ dans laquelle la matrice Δ de 𝑓 soit diagonale.

3. Donner sans inverser aucune matrice une relation matricielle exprimant Δ en fonction 𝐴

Exercice 2 (extrait de concours)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note E_n = ⁿ [X]

Soit g l’application définie par :

 Q  E_n, g(Q) = n X Q  (X ²  1) Q' Où Q' désigne le polynôme dérivé du polynôme Q.

1. Vérifier que g est un endomorphisme de E_n et donner sa matrice A dans la base canonique ^c = (1, X, X²,…, X ⁿ) de E_n

2. Soit () l’équation différentielle :



^x²^^{1 '}

^{y x}

^ ^^^{nx y x}

^⁰

Où  est un réel quelconque.

2.1. Résoudre l’équation différentielle (^) pour x ]1, 1[.

On pourra remarquer que ₂¹ ¹ ¹ ¹

2 1 1

1 x x

x

 

     

  .

2.2. Discuter suivant les valeurs du paramètre  l’existence de solutions polynômiales non nulles de () sur ]1, 1[.

3. En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de g.

4. La matrice An () définie dans la question 1. Est-elle diagonalisable ? 5. Calculer le déterminant de A.

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