La fonctionf est donc dérivable seulement dans

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MPSI B Corrigé du DM 3 29 juin 2019

1. La contrainte vient de ce quearcsinest dénie seulement dans[−1,1]. NotonsA(x) =

2x

1+x² et montrons que la fonctionf est dénie dansRcar

∀x∈R, −1≤A(x)≤1.

En eet

2x

1 +x²+ 1 = (1 +x)²

1 +x² ≥0⇒ −1≤A(x) 2x

1 +x² −1 =−(1−x)²

1 +x² ≥0⇒A(x)≤1.

Commearcsinest continue dans[−1,1], la fonctionf est également continue dansR.

En revanchearcsinn'est dérivable que dans l'ouvert et

A(x) = 1⇔x= 1, A(x) =−1⇔x=−1.

La fonctionf est donc dérivable seulement dans]−∞,−1[ ∪]1,1 [∪] 1,−∞[.

Remarque pour étudier la dérivabilité, il ne faut pas chercher à calculer la dérivée mais rappeler les domaines de dérivabilité des fonctions en jeu.

Posonsθ= arctanx, l'expression devient : 2x

1 +x² = 2 tanθ

1 + tan²θ = 2 tanθcos²θ= sin 2θ.

Par conséquent, 2θ est un antécédent de _1+x^2x2 pour sin mais, suivant x, il n'est pas forcément dans le bon intervalle (

−^π₂,^π₂

) pour arcsin. Présentons les cas dans un tableau

x ]−∞,−1] [−1,1] [1,+∞[ θ −^π₂,^π₄ −^π₄,^π₄ π

4,^π₂

2θ

−π,^π₂

−^π₂,^π₂ _π

2, π f(x) −π−2 arctanx 2 arctanx π−2 arctanx On peut justier les expressions par les remarques suivantes.

Six≥1, alors2θ∈_π

2, π

doncπ−2θ∈ 0,^π₂

a le même sinus que2θ. Six≤ −1, on conclut en remarquant quef est impaire.

∀x≤ −1, f(x) =−f(−x) =−(π−2 arctan(−x)) =−π−arctanx.

Une autre méthode consiste à dériver.

∀x∈R\ {−1,+1}, f⁰(x) = 2

1 +x² − 4x² (1 +x²)²

1 q1−_(1+x^4x²2)²

= 2

1 +x² − 4x² (1 +x²)²

1 +x²

|1−x²| = 2 1−x²

|1−x²| 1 1 +x². On obtient une expression qui est au signe près la dérivée de 2 arctan. On forme un tableau analogue et on calcule les constantes en prenant les valeurs en−1 et1. 2. a. Un nombre complexe admet un argument dans−^π₂,^π₂si et seulement si sa partie

réelle est strictement positive.

b. NommonsAle complexe à étudier. Ses parties réelles et imaginaires se calculent en multipliant pare^ia−tle numérateur et le dénominateur. On obtient respecti- vement

1−t²

1−2tcosa+t², 2tsina 1−2tcosa+t². Comme −1 < t < 1 et 1−2tcosa+t² =

e^ia−t

2 > 0, la partie réelle est strictement positive. Comme on l'a rappelé dans la question a., cela entraine que Aadmet un argument (nommons leθ) dans

−^π₂,+^π₂ .

c. Montrons que le N proposé par l'énoncé de cette question est en fait l'argument θintroduit dans la question précédente.

tanθ= sinθ

cosθ = |A|sinθ

|A|cosθ = Im(A)

Re(A) =2tsina 1−t² . θ∈i

−π 2,+π

2 h







⇒θ= arctan2tsina 1−t² .

D'autre part

1−2tcosa+t²=

1−e^−ia

2

1 + 2tcosa+t²=

1 +e^−ia

2

)

⇒ |A|=

r1 + 2tcosa+t² 1−2tcosa+t² =e^M. On en déduit

e^S =e^Me^iN=|A|e^iθ =A=e^−ia+t e^−ia−t.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0103C

(2)

d. Lorsque t > 1, la partie réelle de A est négative. Par conséquent, N = arctan^2tsin_1−t2^a n'est plus un argument deAmaisN+π(qui a la même tangente) en est un. On en déduit

e^S =e^MeîN =|A|eîN =−|A|eî(N^+π)=−A=−e^−ia+t e^−ia−t.

3. Les fonctionsarccos◦sin etarcsin◦cossont dénies dansR. Nommons les respective- ment acs et asc. Elles sont2π-périodiques. On peut aussi préciser diverses transfor- mation en utilisant les propriétés de cours dearccosetarcsin.

acs(x+π) = arccos◦sin(x+π) = arccos(−sin(x)) =π−acs(x) asc(x+π) = arcsin◦cos(x+π) = arcsin(−cos(x)) =−asc(x)

acs(−x) = arccos(−sinx) =π−acs(x) asc(−x) = arcsin(cosx) =asc(x).

On peut ainsi réduire le domaine d'étude à 0,^π₂

.

∀x∈h 0,π

2 i

,

π

2 −x∈h 0,π

2 i

cosπ 2 −x

= sinx sinπ

2 −x

= cosx











⇒acs(x) =asc(x) =π 2 −x

Les graphes sont présentés en gures1et2.

π2 π2

−π

Fig. 1: Graphe dearcsin◦cos.

Les fonctionssin◦arccosetarccos◦sinsont très diérentes. Elles sont dénies dans le segment[−1,1] seulement. Elles sont égales entre elles et à la fonctionx7→√

1−x² car les intervalles dans lesquels les fonctions arcsin et arccos prennent leurs valeurs permettent de lever l'ambiguité du signe devant la racine. Leur graphe est le demi- cercle unité.

π

π2

−^π₂

Fig. 2: Graphe dearccos◦sin.

−1 1

1

Fig. 3: Graphe de sin◦arccoset cos◦arcsin.

4. Transformons le produit des deux coecients du binôme.

p+q k

p+q−k p−k

= (p+q)!(p+q−k)!

k!(p+q−k)!(p−k)!q! = (p+q)!

k!(p−k)!q!

p!

p! = p+q

p p

k

On peut alors utiliser la formule du binôme. La forme simple cherchée est donc p+q

p ^p

X

k=0

p k

= 2^p p+q

p

5. La première somme est la partie imaginaire de

n

X

k=0

e^ix cosx

^k

=1−^e_cos^(n+1)ixn+1x

1−_cos^e^ix_x = 1 cosⁿx

cosⁿ⁺¹x−e^(n+1)ix cosx−e^ix

= 1

cosⁿx

cosⁿ⁺¹x−e^(n+1)ix

−isinx =icosⁿ⁺¹x−e^(n+1)ix cosⁿxsinx

(3)

soit cosx

sinx −cos(n+ 1)x cosⁿxsinx La deuxième somme est la partie imaginaire de

1 +e^ixⁿ

= 2 cosx

2eⁱ^x²ⁿ soit

2ⁿcosⁿx 2sinnx

2