Lycée Paul Rey
Devoir Maison corrigé 1S1 pour le 4 mars.
Exercice 1. On considère la fonction polynômiale définie surR par : fpxq “2x3´6x2´18x`54 1. Étude du signe de f.
(a) Déterminerfp3q “2ˆ33´6ˆ32´18ˆ3`54“0 (b) Déterminer les valeurs de a,b etctel que
fpxq “ px´3qpax2`bx`cq On noteraRpxq “ax2`bx`c.
px´3qpax2`bx`cq “ax3`pb´3aqx2`pc´3bqx´3c“fpxq ô
$
’’
&
’’
%
a“2 b´3a“ ´6 c´3b“ ´18
´3c“54 ô
$
’’
’’
&
’’
’’
%
a“2 b“ ´6`3ˆ2“0 c“ ´18`3ˆ0“ ´18
c“ 54
´3 “ ´18 DoncRpxq “2x2´18“2px2´9q “2px´3qpx`3q.
Pour cette factorisation nous aurions pu aussi faire ∆“02´4ˆ2ˆ p´18q “122 ą0, puisx1“ ´3 et x2 “3 et enfin Rpxq “apx´x1qpx´x2q “2px´3qpx“3q)
(c) Faire un tableau de signes permettant d’étudier le signe defpxq “ px´3qRpxq “2px´3q2px`3q. x
2 px´3q2
px`3q fpxq
´8 ´3 3 `8
` ` `
` ` 0 `
´ 0 ` `
´ 0 ` 0 `
2. Étude de la fonctionf.
(a) Déterminer la dérivéef1 de f.
f1pxq “2ˆ3x2´6ˆ2x´18“6x2´12x´18“6px2´2x´3q (b) Étudier le signe def1 et dresser le tableau de variation def.
Commef1p´1q “0, on a fpxq “6px`1qpx´3q. Les deux racine def1 sont -1 et 3.
On sait que f1 (polynôme du second degré) est du signe de a “ 6 ą à à "l’extérieur des racines".
Donc :
x f1pxq
fpxq
´8 ´1 3 `8
` 0 ´ 0 `
28 28
0 0
´3
0
Remarque :On retrouve le tableau de signes def que l’on a trouvé en 1 (c).
(c) Déterminer la valeur des extrémums locaux s’il y en a.
f admet une minimum local en 3 dont la valeur est 0 et un maximum local en´1 dont la valeur est 28.
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‘
Exercice 2. .
1. Dans le repère
´ A;ÝÝÑ
AB;ÝÑ AC
¯ . (a) CommeÝÝÑ
AD“ 1 2
ÝÑAC alorsC ˆ
0;1 2
˙
CommeÝÑ AE “ 1
3 ÝÝÑ
AB alorsE ˆ1
3; 0
˙
CommeÝÝÑ
BF “2ÝÝÑ BCô
"
xF ´1“2p0´1q yF ´0“2p1´0q ô
"
xF “ ´1
yF “2 Donc Fp´1; 2q
(b) C, E et F alignésôÝCE etÝÑ ÝCFÝÑ colinéairesô
ˆ1 3 ´0
˙
p´1´0q ˆ
0´1 2
˙ ˆ 2´1
2
˙
“ 1 3 ˆ3
2´ ´1
2 ˆ p´1q “0 . Donc E, F et C sont alignés.
2. Avec les vecteurs :
(a) ÝDEÝÑ“ÝDAÝÑ`ÝÑAE “ ´1 2
ÝÑAC`1 3
ÝÝÑ AB ÝÝÑ
DF “ÝÝÑ DA`ÝÝÑ
AB`ÝÝÑ BF “ ´1
2
ÝÑAC`ÝÝÑ
AB`2ÝÝÑ BC “ ´1
2
ÝÑAC`ÝÝÑ
AB`2ÝÝÑ
BA`2ÝÑ
AC “ ´ÝÝÑ AB`3
2 ÝÑAC Donc´3ÝÝÑ
DE “ ´3 ˆ´1
2
ÝÑAC`1 3
ÝÝÑ AB
˙
“ ´ÝÝÑ AB`3
2
ÝÑAC “ÝÝÑ DF
DoncÝDFÝÑet ÝDEÝÑ sont colinéaires et les points C, E et F sont alignés.
3. On utilise le théorème des milieux dans le triangle ACI (ou Thalès bien sûr) . CommepDEq{{pCIq et D est le milieu derACs(puisqueÝÝÑ
AD“ 1 2
ÝÑAC), on peut donc affirmer que E est le milieu de rAIs.
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4. DoncÝÑ AE “ 1
3 ÝÝÑ AB“ÝÑ
EI Donc ÝÝÑ EB “ÝÑ
EA`ÝÝÑ AB“ÝÝÑ
AB´1 3
ÝÝÑ AB“ 2
3 ÝÝÑ
AB“2ÝÑ EI. Donc I milieu derEBs. CommeÝÝÑ
BF “2ÝÝÑ
BC, Le point C est milieu du segmentrBFs. Donc dans le triangle BF E, on peut appliquer le théorème des milieux (puisque C est milieu du segmentrBFs et I est milieu du segment rBEs.) Donc pEFq{{pCIq. Or pEDq{{pCIq. Donc pEDq{{pEFq. Donc pEDq et pEFq sont confondu et C, E et F sont alignés.
43 page 100
fpxq “x3`x2`5x´7 1. (a) f1pxq “3x2`2x`5.
(b) ∆“4´4ˆ3ˆ5´56ă0. Doncf1pxq(polynôme du second degré) n’a pas de racine et est du signe de a“3ą0.
x f1pxq
fpxq
´8 `8
` 1
0
2. (a) D’après le tableau de variation de f (puisque fp1q “ 0), sur r1;`8r on a fpxq ě 0. Donc gpxq “ afpxq est bien définie sur r1;`8r. Comme la fonction racine est croissante, les variation de g sont les mêmes que celles def. Donc :
x gpxq
1 `8
0 0
3. (a) D’après le tableau de variation def, puisquefp1q “0, la valeur 1 est l’unique solution de l’équation fpxq “0. Donc h“ 1
f est définie surR´ t1u. La fonction inverse étant décroissante, elle inverse les variations def. Donc :
x hpxq
´8 1 `8
4. (a) Comme la fonction carré est décroissante sur R´ et croissante sur R`, et que fpxq ď 0 sur R´ et fpxq ě0 surR`, on obtient le tableau de variation dek“f2 :
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x kpxq
´8 1 `8
0 0 41 page 122punqdéfinie sur Nparun“ 7
2n`23 8 . a) Pour tout entiern, on aun`1´un“ 7
2pn`1q `23 8 ´
ˆ7 2n`23
8
˙
“ 7
2 doncpunqest une suite arithmétique de raisonr“ 7
2 et de premier termeu0 “ 23 8 . b) On a :
ÿ10
k“0
uk“ ÿ10
k“0
ˆ7 2k`23
8
˙
“ 7 2
ÿ10
k“0
k` ÿ10
k“0
23 8 “ 7
2
10ˆ11
2 `11ˆ 23
8 “ 1793
8 “224,125 25 page 171
a) PuisqueÝÝÑ
AB“2ÝÑ
AE, on a Bp2; 0q. Pour déterminer l’équation de la droite pBFq : Mpx;yq P pBFq ôÝÝÑ
BM etÝÝÑ
BF colinéairesôDet
´ÝÝÑ BM ,ÝÝÑ
BF
¯
“
px´2q p0´2q py´0q p1´0q
“x`2y´2“0 DoncpBFq:x`2y´2“0
b) On a 2
3 `2ˆ2
3 ´2“ 6
3 ´2“0, donc le pointG ˆ2
3;2 3
˙
est un point de 5BFq.
c) D, E et G sont alignésôÝÝÑ
DE etÝÝÑ
DG colinéairesôDet
´ÝÝÑ DE,ÝÝÑ
DG
¯
“
p1´0q ˆ2
3 ´0
˙
p0´2q ˆ2
3 ´2
˙
“ ´4 3 `4
3 “0 Donc D, E et G sont alignés.
d) Dans le triangle ABD, E et F sont les milieux respectif de rABs et rADs. Comme G est le point d’in- tersection de pDEq (médiane issue de D) et pBFq (médiane issue de B) (puisqu’il appartient aux deux droites, voir questions précédentes), G est le centre de gravité du triangleABD.
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