DEVOIR A LA MAISON N°3. 1S1. Pour le mercredi 24 septembre 2014. Vous pouvez bien entendu poser des questions si vous êtes bloqués dans un exercice. I.

DEVOIR A LA MAISON N°3. 1S1.

Pour le mercredi 24 septembre 2014.

Vous pouvez bien entendu poser des questions si vous êtes bloqués dans un exercice.

I.

A. Résoudre les équations suivantes : 1. 2x ² 14x 36 0

2. 3x ² 8x 40 x² 6x 4

3. 2x

14 x

36 0 (Poser X ... et utiliser le 1) 4. 2

x² 14

x 36 0 (Poser X ... et utiliser le 1) 5. 2x 14 x 36 0 (Poser X ... et utiliser le 1) B. Résoudre les inéquations suivantes :

1. 2x ² 14x 36 0 2. 2 x 1

x

x 2 3x 6

II. Déterminer les ensembles de définition des fonctions f et g définies par f ( x) 1

3 x

3x 6 et g( x) 3x ² 3x 6 .

III. f et g sont les fonctions définies sur par f (x ) 2 x ² 6x 3 et g (x ) 5 x² 3x 6.

C

et C

sont les courbes représentatives de f et g dans un repère.

1. Déterminer les coordonnées des points d intersection éventuels de C

et C

. 2. Déterminer la position relative de C

et C

.

IV. Pour chercher.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel r : 4r

864 r 4320 = ( r 6)(ar ² br c) 2. Au fond d un récipient cylindrique de rayon intérieur 12cm et de hauteur 25cm, on place une sphère de rayon 6 cm puis on verse de l eau jusqu à recouvrir exactement la sphère (qui ne flotte pas).

On enlève cette sphère et on la remplace par une autre de rayon différent et de même densité sans changer la quantité d eau dans le cylindre. L eau recouvre alors exactement cette nouvelle sphère.

Quel est le rayon de cette deuxième sphère ?

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°3. 1S1

I.

A.

1. 2x ² 14x 36 0

=484 > 0 donc l équation a deux solutions qui sont 2 et 9 : S = { 2 9}.

2. 3x ² 8x 40 x² 6x 4 2x ² 14x 36 0. On retrouve l équation du 1 donc S = { 2 9}.

3. Soit X x ². 2 x

14x

36 0 2X² 14 X 36 0 X 2 ou X 9 d après 1 x² 2 ou x ² 9 x 3 ou x 3 S = { 3 3}

4. La valeur interdite est 0. Soit X 1

x On a alors x 1 X . 2

x ² 14

x 36 0 2X ² 14X 36 0 X 2 ou X 9 d après 1 1

x 2 ou 1

x 9 x 1

2 ou x 1

9 S







1

2

1 9

5. L ensemble de définition de l équation est [0 ; + [. Soit X x . On a alors x X².

2 x 14 x 36 0 2X ² 14 X 36 0 X 2 ou X 9 d après 1 x 2 ou x 9 x 81. S={81}.

B.

1. 2 x² 14x 36 0. D après la question A1, le trinôme 2x² 14x 36 a deux racines qui sont 2 et 9. Le coefficient de x ² étant 2 > 0, le trinôme est positif sauf entre ses racines.

Alors S ] 2[ 9 [

2. 2 x 1 x

x 2

3x 6 Les valeurs interdites sont 0 et 2.

2x 1 x

x 2 3 x 6

2x 1 x

x 2

3x 6 0 (2x 1)(3 x 6) (x 2)x

x(3 x 6) 0

6 x² 9 x 6 x² 2 x

x(3 x 6) 0 5x² 11 x 6

x(3 x 6) 0

Signe de 5x² 11x 6 : = 241 donc l e tri nôme adm et deux racines qui sont

11 241

10 0,45 et 11 241

10 2,65 et il est du signe de a = 5 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau de signes suivant :

x 11 241

10 0 2 11 241

10 +

5 x ² 11x 6 + +

x + + +

3x 6 + +

5x² 11 x 6 x(3x 6)

+ + +

Ainsi S

 



  11 241 

10 0

 



  2 11 241 

10

II. f (x ) est défini si et seulement si 3x² 3 x 6≠0.

= 81 donc l e t rinôme a deux racines qui sont 1 et 2.

Ainsi l ensembl e d e définiti on d e f est -{ 1 2}.

g( x) est défini si et seulement si 3 x² 3x 6 0.

D après ce qui précède, ce trinôme a deux racines qui sont 1 et 2. Il est du signe de a 3 sauf entre ces racines.

Ainsi, 3 x² 3x 6 0 pour xϵ [ 1 2]. L ensemble de définition de g est donc [ 1 2].

III.

1. On résout l équation f (x ) g (x).

f (x ) g (x ) 2x² 6x 3 5x ² 3 x 6 3x² 9x 9 0 x² 3x 3 0 3 donc l équation n a pas de solution.

C

et C

n ont pas de point d intersection.

2. On étudie le signe de f (x ) g ( x).

f (x ) g( x) 3x ² 9x 9. = 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 3 < 0.

Pour tout x de , f (x ) g ( x) 0, ce qui équivaut à f (x ) g (x ).

La courbe C

est donc toujours en dessous de la courbe C

.

IV. Pour chercher.

1. Pour tout réel r, on a 4r

864r 4320 = ( r 6)(4r ² +24r 720) [méthode vue en classe et dans la correction du DM n°2].

2. Notons r le rayon, en cm, de la deuxième sphère.

Le rayon du cylindre étant 12cm, on a r 12.

Calcul du volume d eau dans le cylindre en utilisant la première situation : Volume de la première sphère : 4

3 6

= 288 . V

12² 12 288 = 1440 .

Calcul du volume d eau dans le cylindre en utilisant la deuxième situation : Volume de la deuxième sphère : 4

3 r

. V

12² 2 r 4

3 r

=

 

  288r ⁴

3 r

Calcul de r :

On a alors 1440

 

  288 r ⁴

3 r

( = volume de l eau) 1440 288r 4

3 r

4320 864r 4r

4 r

864 r 4320 0 (r 6)(4r² +24 r 720)=0 r 6 ou 4r² 24r 720 0 Résolution de 4r² 24r 720 0 :

= 12096 donc l équation a deux solutions qui sont 24 12096 8 < 0 et 24 12096

8 = 6 756

2 10,74 < 12 Les solutions de l équation 1440

 

  288r ⁴

3 r

sont 6 ; 24 12096

8 et 6 756

2 .

Le rayon de la deuxième sphère n étant pas 6cm (car différent de celui de la première), il est égal à

6 756

2 cm.