() () () () Attention : nattendez pas les vacances pour commencer le DM : vous risquez davoir besoin de poser des questions pour lexercice IV. DEVOIR A LA MAISON N°6. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°6. TS1.

Pour le jeudi 3 novembre 2016

Attention : n attendez pas les vacances pour commencer le DM : vous risquez d avoir besoin de poser des questions pour l exercice IV.

I. Ecrire sous forme algébrique : z 1 (3 i)(1 3 i) ; z 2

2 3i 1 4 i ; z 3

 

  2 i 1 2 i

II. On appelle f la fonction qui à tout complexe z différent de i associe le complexe f( z) (2 i) z z i 1. Déterminer l image de (1 i ) par f

2. Déterminer le(s) antécédent(s) de 2 i par f.

3. Déterminer le(s) complexe(s) invariant(s) par f, c'est-à-dire le(s) complexe(s) z tels que f(z) z.

III.

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On pose S n

1 10 ²

1 10 ³

1

10 ⁴ … 1

10 ^{n 1} a. Exprimer en fonction de n : 1

10 S n puis S n

1 10 S n . b. En déduire que S n

1 90  

 

1 ¹

10 ⁿ

2. La suite ( ) ^{u n} est définie sur par u n 1,2777…7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi, u 0 1,2 ; u 1 1,27 ; u 2 1,277…

Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

IV. ( ) ^u n est la suite définie pour tout n de par

 

 u 0 1

u n 1 u n 4n 1 .

1. A l aide d un tableur ou de la calculatrice, représenter graphiquement la suite ( ) ^u n . 2. Conjecturer l expression de u n en fonction de n.

3. Prouver votre conjecture par récurrence.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°6. TS1

I. z 1 (3 i )(1 3i ) 3 i 9i 3i ² 3 i 9 i 3 6 8i . z 2

2 3 i 1 4i

(2 3 i)(1 4 i ) (1 4i )(1 4 i)

2 3i 8 i 12 1 16

14 5 i 17

14 17

5i 17 . z 3

 

  2 i 1 2 i

2 i 1 2 i

(2 i) ( ^{1 2 i} ) ( ^{1 2 i} ) ( ^{1 2 i} )

2 i 2 2 i 2

1 2

2 2

3

1 2 2

3 i

II.

1. f (1 i ) (2 i )(1 i )

1 i i 2 2 i i 1 3 i. L image de (1 i ) par f est 3 i . 2. f (z) 2 i  (2 i) z

z i 2i

 (2 i)z 2 i(z i) et z ≠ i  (2 i 2 i )z 2 et z ≠ i  z 2

2 3 i et z ≠ i  z 2(2 3 i )

4 9 et z ≠ i  z 4

13 6 13 i L antécédent de 2i par f est 4

13 6 13 i

3. f (z ) z  (2 i )z

z i z

 (2 i)z z (z i) et z ≠ i  (2 i)z z (z i) 0 et z ≠ i  z(2 i z +i) 0 et z ≠ i  z 0 ou (2 z) 0 et z ≠ i  z 0 ou z 2

Les complexes invariants par f sont 0 et 2.

III.

1. S n

1 10 ²

1 10 ³

1

10 ⁴ … 1

10 ^{n 1} a. 1

10 S n

1 10 ³

1

10 ⁴ … 1

10 ^{n 1} 1 10 ^{n 2} S _n 1

10 S _n 1 10 ²

1 10 ³

1

10 ⁴ … 1

10 ^{n 1} 1 10 ³

1

10 ⁴ … 1

10 ^{n 1} 1 10 ^{n 2}

1 10 ²

1 10 ^{n 2} b. On a donc 9

10 S n

1 10 ²

1 10 ^{n 2} Donc S n

10 9  

  1

10 ² 1 10 ^{n 2}

10 9

1 10 ²  

 

1 ¹

10 ⁿ 1 90  

 

1 ¹

10 ⁿ . 2. Pour tout n de , u n 1,2 7 S n 1,2 7

90  

 

1 ¹

10 ⁿ 10 1 donc lim

n

10 ⁿ donc lim

n

1

10 ⁿ 0 donc lim

n

u n 1,2 7 90

115 90

23 18

IV.

1. On obtient le nuage de points ci-contre :

2. Le nuage semble avoir une forme parabolique. On peut donc conjecturer qu il existe des réels a ,b et c tels que, pour tout n de ,

u n an² bn c.

Supposons que cette conjecture soit vraie.

u 0 1 donc c 1.

u 1 0 donc a b c 0 u 2 3 donc 4 a 2 b c 3 On a donc le système



  c 1

a b c 0

4 a 2 b c 3

( S)

( S) 



  c 1

a 1 b

4( 1 b) 2 b 1 3

    c 1

a 1 b

b 3

    c 1

a 1 3 2

b 3

. On peut donc conjecturer que, pour tout n de , u n 2n ² 3n 1.

3. Initialisation : pour n 0 0 : u 0 1 et 2 0² 3 0 1 1 donc u 0 2 0² 3 0 1.

Hérédité : Soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u p 2 p² 3p 1. Montrons que u p 1 2(p 1)² 3( p 1) 1.

D une part : u p 1 u p 4p 1 2p ² 3p 1 4 p 1 2 p² p.

D autre part : 2( p 1)² 3(p 1) 1 2 p² 4 p 2 3p 3 1 2p ² p Ainsi, u p 1 2(p 1)² 3(p 1) 1

Conclusion : pour tout n de , u n 2n ² 3n 1.